与牛顿水桶实验有关的曲面及推广

葡萄糖

牛顿是这样叙述的： “如果用长绳吊一水桶，让它旋转至绳扭紧，然后将水注入，水与桶都暂处于静止之中。再以另一力突然使桶沿反方向旋转，当绳子完全放松时，桶的运动还会维持一段时间；水的表面起初是平的，和桶开始旋转时一样。但是后来，当桶逐渐把运动传递给水，使水也开始旋转。于是可以看到水渐渐地脱离其中心而沿桶壁上升形成凹状。运动越快，水升得越高。直到最后，水与桶的转速一致，水面即呈相对静止。”


匀速旋转时是抛物面
可是，平时我们看见的却是：

kastin

生活中的这种由于漏洞产生的“漩涡”的流体力学现象（比如面盆里面的水在漏下的过程，以及龙卷风）一般来说是比较复杂的，主要是因为需要求解流体力学理论中的N-S（Navier-Stokes）方程组才能得到相应的解，并且该现象的初、边值条件较难给定。这个方程组是2阶非线性偏微分方程组（共3个方程，分别称为为连续性方程、动量方程、能量方程），一般情况下只能数值求解。在一些特殊简化条件下，可得到解析解。

在一般情况下，水相对来说是比较难被压缩的，因此可以认为是不可压流体（超声速水流除外，因为会产生激波，流体被强烈挤压）。那么N-S方程组中的连续性方程（又称为质量方程）就简化为速度场函数（采用的是欧拉描述，以下简称为速度）的散度等于零$$\nabla \* \vec{v}=0$$这样，连续性方程便只含速度变量（如果不关心压强、密度、温度等未知量，就不需要联立求解动量方程和能量方程），相当于方程组解耦了一个变量。

再考虑到：水的粘性较小，我们认为流体是理想的（无粘性）；水的温度处处变化不大、认为是正压流体（即压力只是密度的函数）；外力如重力（包括离心力等惯性力）有势，于是速度必然是无旋的（即`\nabla \times \vec{v}=0`）。根据矢量场理论，无旋必定有势，因而存在一个标量场函数`\varphi`（即速度势）满足`\vec{v}=\nabla \varphi`. 于是，连续性方程就可简化为拉普拉斯算子作用于速度势等于零$$\Delta \varphi=\nabla^2\varphi=\nabla\*\nabla\varphi=0 $$这是一个拉普拉斯方程，满足拉普拉斯方程的解称为调和函数。回忆复变函数理论，任何解析函数的实部和虚部函数式一对共轭调和函数，于是都满足拉普拉斯方程（这是由柯西-黎曼条件所确定的性质）。因此，在二维情况下，我们只要给出一个解析函数（我们称之为复速度势`w=\varphi+i\psi`，其中`\varphi`为速度势，`\psi`为流函数），就可以直接求出速度解 `v=\nabla\varphi`.

这种复变函数的方法得到拉普拉斯基本解，在流体力学里面被称为平面不可压势流的基本解（即基本的物理流动现象）。任何解析函数都对应相应类型的基本解，比如

1) 一次函数 `w=cz`，对应于平行来流（`c` 是复数，决定来流速度和方向）；
2) 多项式函数 `w=az^n` 则表示绕角流动 （绕角的大小为`\pi/n`）；
3) 对数函数`w=a\ln z`(`a`是实数)则表示源或者汇（`a>0`为源，反之为汇，其大小决定相应源或汇的强度）；
4) 对数函数`w=ib\ln z`则是源或者汇的对偶——点涡(`b`为实数，`ib`决定了涡强度大小)；
5) 倒数函数`w=c/z`表示偶极子流动(`c`为复数，决定了偶极距大小和方向)，偶极子是一对等强度源和汇相互无限近并保持强度和距离的乘积等于一常数值所形成的流动（当然还有四极子、八极子...分别是偶极子势函数的导数）。

而基本解的叠加仍然是拉普拉斯方程的解（拉普拉斯方程的线性性质），因此任何复杂不可压无旋流动都可以用上述基本解合理叠加得到。比如最简单的圆柱绕流问题可以用一个偶极子和一个平行来流叠加；如果圆柱在旋转，那么可以用一个点涡和一个平行来流叠加。对于具有更加复杂的边界流动，可以使用保角变换或者柯西-施瓦兹变换变成简单边界（比如变换成单位圆，或者折角、半无限平面），然后使用基本解叠加得到。在早期飞机机翼平面设计中，基本上都是用这种方法。

回到本问题，对于流体静力学问题，自由液面是等压力面（否则液面会变形）。可以证明，它同时也是等势面（这里指的是速度势），如果使用理想状态方程，那么同时也是等密度面、等温面。于是液面形状被速度势函数确定。考虑二维情形（俯视该水涡旋），你就会很自然地想到这是一个汇和点涡的叠加，中心点处（即楼主最后一幅图中“涡旋”最低端中心处）是一个奇点（因为根据无旋假设，只有该点具有涡量）。三维情况就比较复杂了，此时复变函数方法便无效（或许三元数能派上用场？），简单的基本解有空间偶极子`\D\frac{1}{4\pi r}`（`r`为矢径），剩下的基本上都是级数形式的解.

为什么这种类似龙卷风的液面牛顿水桶实验所预测的抛物面不一样呢，@282842712474在他空间文章（http://spaces.ac.cn/index.php/archives/2031/#userconsent#）中解释说“仔细观察就会发现，它更像是整体匀速旋转。也就是说，速度大小是固定的，接近中心处角速度大些，较远处角速度小一些”，这一点可以在实验中加入染色后的颗粒来验证是否正确，我更倾向于认为是动量一致而不是速度一致。