球面三角形面积的期望

倪举鹏

在单位球面上随机取3点，所构成的球面三角形面积的期望是多少？
在单位半球面上随机取3点，所构成的球面三角形面积的期望是多少？

关于球面三角形，请见这里28#

hujunhua

球面的情况，期望值为`\pi/2`。
对于任意球面三角形，可以将其边延长为球面上的直线（即大圆），三个大圆两两相交，又得对径三点，并将球面分割为8个三角形。
这8个三角形构成的集合称为其任一成员的伴集。样本空间{单位球面上的全体三角形}就可按伴集进行划分。
对于特定的伴集，作为一个子样本空间，由于一个点与其对径点取到的几率各为1/2，所以其中每个三角形被取到的几率都是1/8。
8个三角形的面积和即球面表面积`4\pi`, 故子样本空间的期望值为`\pi/2`
既然各子空间的期望值是常量，因此原样本空间的期望值就是这个常量`\pi/2`

同理，如果问的是周长期望的话，答案就是`\frac32\pi`

hujunhua

上述8个三角形，恰好有一个落在指定的半球面上。（对于两点或者3点落在半球边缘的特殊情况，概率为0，可忽略 )
即，球面三角形落在指定半球面上的概率为1/8。因此，答案就是`\pi/16`？