一类极限题

倪举鹏

数值计算发现a=2   结果为PI/2   可是为其他数字看不出规律。
另外，a很大时候也有一些规律

补充内容 (2015-9-17 00:06):
似乎少算一次根号，应该是pi

倪举鹏

a很大，结果是根号a

zeroieme

解$sqrt(a*(a - 1) + b) = b$
b=1-a或 b=a
于是$sqrt(a)$或 0

282842712474

你这个当$a=2$的时候，正好是传统的割圆术求圆周率的公式，从正方形到正八边形、正十六边形...的周长，结果是$\pi$。

282842712474

282842712474 发表于 2015-9-16 20:21
你这个当$a=2$的时候，正好是传统的割圆术求圆周率的公式，从正方形到正八边形、正十六边形...的周长，结果 ...

受到这里启发，我大概知道怎么证明了。答案是
$$a\sqrt{2a}\arcsin\frac{1}{\sqrt{a}}$$

只要设
$$x_n=\sqrt{a-\sqrt{a(a-1)+\sqrt{\dots}}}\quad(\text{n个根号})$$
那么不难得到递推公式
$$\frac{x_{n+1}}{a}=\left(\frac{2}{a}\right)^{1/2}\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-\frac{x_n^2}{a^2}}}{2}}$$
注意，等号右边的根号部分形式正好是正弦的半角公式！！于是可以设$x_1=\sin\theta$，写出：
$$\frac{x_{n}}{a}=\left(\frac{2}{a}\right)^{(n-1)/2}\sin\frac{\theta}{2^{n-1}}$$
于是
$$\begin{aligned}\lim_{n\to \infty} (2a)^{n/2} x_n =& \lim_{n\to \infty}  a\left(\frac{2}{a}\right)^{(n-1)/2}(2a)^{n/2}\sin\frac{\theta}{2^{n-1}}\\
=&\lim_{n\to \infty}  a\sqrt{\frac{a}{2}}2^n \sin\frac{\theta}{2^{n-1}}\\
=&a\sqrt{2a}\theta
\end{aligned}$$
显然$x_1=\sqrt{a}$，$\theta=\arcsin\frac{1}{\sqrt{a}}$，所以要求极限为
$$a\sqrt{2a}\arcsin\frac{1}{\sqrt{a}}$$

当$a$较大时，应该是近似于$\sqrt{2}a$，当$a=2$时，算得$\pi$。数值计算支持这一结果。

别问我怎么想的...小学六年级开始玩割圆术的结果...