椭圆中内接Ｎ边形的各边长幂和极值问题

数学星空

我们花费了很大的功夫讨论了椭圆内接Ｎ边形的最大边长和问题：

http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 40&fromuid=1455

现在来讨论更一般的情况：

Ａ.设内接椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1$的三角形，且其各边长依次为\(m,n,p\),求\(\frac{1}{m^k}+\frac{1}{n^k}+\frac{1}{p^k}\)的极值及取等相应条件?

　Ａ1:求\(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\)的最小值及取等相应条件？

　Ａ2:求\(\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{p^2}\)的最小值及取等相应条件？

　Ａ3:求\(m^2+n^2+p^2\)的最大值及取等相应条件？

　Ａ4:求\(m^3+n^3+p^3\)的最大值及取等相应条件？

更一般的：

Ｂ.设内接椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1$的$Ｎ$边形各边长依次为\(t_1,t_2,...,t_n)\),求\(\frac{1}{{t_1}^k}+\frac{1}{{t_2}^k}+...\frac{1}{{t_n}^k}\)的极值及取等相应条件?

　B1:求\(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+...+\frac{1}{t_n}\)的最小值及取等相应条件？

　B2:求\(\frac{1}{{t_1}^2}+\frac{1}{{t_2}^2}+...+\frac{1}{{t_n}^2}\)的最小值及取等相应条件？

　B3:求\({t_1}^2+{t_2}^2+...+{t_n}^2\)的最大值及取等相应条件？

　B4:求\({t_1}^3+{t_2}^3+...+{t_n}^3\)的最大值及取等相应条件？