和长方体有关的一个不定方程

manthanein

一个长方体的长宽高均为正整数，表面积和体积在数值上相等，这样的长方体有哪些呢？
用a、b、c表示长宽高，也就是解决不定方程2(ab+bc+ac)=abc
我想，等式两边同时除以2abc，就是1/a+1/b+1/c=1/2
问题明晰多了，但这个方程的正整数解是有限的，还是无限的呢？
如果是无限的，有没有什么能表示出通解的公式？

manthanein

自己算了一下，有10组解：
6,6,6
5,5,10
4,8,8
4,6,12
4,5,20
3,12,12
3,10,15
3,9,18
3，8,24
3,7,42
不知道有没有遗漏

manthanein

初来乍到。发在这个版块，真是失误了。

aimisiyou

答案肯定是有限的.由\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\),不妨令\(a \le b \le c\),可知\(a\in[3,6]\),\(b\in[4,12]\),根据\(c=\dfrac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{ab-2a-2b}\)通过\(a\),\(b\)双循环来判断结果\(c\)是否满足整数要求即可.

wayne

大家有没有兴致把这个题目推进一下，$1/a+1/b+1/c=1/n$的正整数解有多少组？

wayne

好吧，算了前几项，就找到该数列了，http://oeis.org/A004194

假设$1/a+1/b+1/c=1/n$的正整数解的个数是$f(n)$, $f(10^9)=？$，谁能尽可能的提高计算速度？

aimisiyou

三重循环，复杂度n的3次方，是不是太慢了？

aimisiyou

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{n}=\frac{r_1+r_2+r_3}{n*(r_1+r_2+r_3)}$$
现规定这是最简式则有
$$gcd(r_1,r_2,r_3)=1,令k=r_1+r_2+r_3\in[3,\oo),1<=r_1<=r_2<=r_3$$
此问题转化为n*k的所有约数中选择三个(三数最大公约数为1)其和为k,
其方法数为$$g(k)$$,则$$f(n)=\sum_{k=3}^{\infty} {g(k)}$$

aimisiyou

怎么感觉\(g(k) \in \{ 0, 1 \}\)?若成立,怎么证明不存在g(k)>1?

aimisiyou

猜想不成立,若n*8的约数为{1,2,3,4,......}显然1+3+4=8,2+3+3=8,....................可以肯定g(8)不小于2!