寻找这样的神奇三角形

manthanein

两个三角形，一个三边长分别为a、b、c，另一个三边长分别为a、b、d（c≠d）。这两个三角形的内切圆半径相等。
这样的三角形确实存在。比如，17、25、26和17、25、28，内切圆半径均为6。
谁能发现更多的解呢？

manthanein

如果规定三边必须为整数，会怎样？
如果规定三边和内切圆半径都要为整数，又会怎样？

manthanein

这个问题很困难吗？

mathe

这个根据海伦公式就可以得出关于\(a,b,c,r\)的方程，然后就是给出两个不同的\(c\)可以有公共的整数解\(a,b,r\).主要是表达式太复杂

mathe

设\(u=a+b,v=a-b\),其中\(u,v\)同奇偶，得出
\((u-c)v^2+4(u+c)r^2=(u-c)c^2\)
分别将\(c=c_1,c=c_2\)代入得到
\((u-c_1)v^2+4(u+c_1)r^2=(u-c_1)c_1^2\)
\((u-c_2)v^2+4(u+c_2)r^2=(u-c_2)c_2^2\)
记\(h=\frac{u}{c_1+c_2}\)
得出
\(v^2=\frac{1-h}{2}c_1^2+\frac{1-2h^2}{2h}c_1c_2+\frac{1-h}{2}c_2^2\)
\(r^2=-\frac{1-h}{8}c_1^2+\frac{2h^2-2h+1}{8h}c_1c_2-\frac{1-h}{8}c_2^2\)
顺便可以得出\(v^2+4r^2=\frac{h}{1-h}c_1c_2=\frac{uc_1c_2}{c_1+c_2-u}\)
其中\(0<h<1\)

wayne

设$ a = x+y, b = y+z, c = z+x$, 则 内切圆半径r： $ xyz=(x+y+z)r^2$
令

根据$x_1+y_1=x+y,x_1+z_1=x+z, r_1=r$，解得 $x_1=\frac{(x+y+z)^2-\sqrt{(x+y+z)^4-4 y z (x+y+z) (x+2 y+z)}}{2 (x+y+z)}$

wayne

{{{17,25,26,6},{17,25,28,6}}}
{{{25,39,40,9},{25,39,56,7}}}
{{{30,30,36,9},{30,30,48,8}}}
{{{34,50,52,12},{34,50,56,12}}}
{{{50,78,80,18},{50,78,112,14}}}
{{{51,52,53,15},{51,52,101,5}},{{51,75,78,18},{51,75,84,18}}}
{{{57,65,68,18},{57,65,106,14}}}
{{{60,60,72,18},{60,60,96,16}}}
{{{68,100,104,24},{68,100,112,24}}}
{{{85,104,117,28},{85,104,171,19}},{{85,125,130,30},{85,125,140,30}}}
{{{90,90,108,27},{90,90,144,24}}}
{{{120,120,144,36},{120,120,192,32}}}

wayne

设$ a = x+y, b = y+z, c = z+x$, 则 内切圆半径r： $ xyz=(x+y+z)r^2$
那么，固定$a,b,r$,我们得到一元三次方程: $x^3 -(a+b) x^2+ (a b + r^2) x-(a +b) r^2 = 0$
该方程有三个正整数解。

据此，我们暴力搜索一下1000以内的有：

{{{17,25,26},6},{{17,25,28},6}}
{{{41,50,39},12},{{41,50,73},12}}
{{{61,195,160},21},{{61,195,232},21}}
{{{65,68,57},18},{{65,68,105},18}}
{{{97,169,122},30},{{97,169,228},30}}
{{{97,340,339},42},{{97,340,345},42}}
{{{100,291,289},42},{{100,291,299},42}}
{{{246,365,329},84},{{246,365,455},84}}
{{{255,260,103},42},{{255,260,485},42}}
{{{257,289,168},60},{{257,289,482},60}}
{{{260,629,381},30},{{260,629,879},30}}
{{{305,377,124},42},{{305,377,660},42}}
{{{313,338,155},60},{{313,338,601},60}}
{{{337,625,386},84},{{337,625,888},84}}
{{{353,578,481},120},{{353,578,735},120}}
{{{364,505,545},126},{{364,505,561},126}}
{{{609,740,355},126},{{609,740,1241},126}}
{{{623,884,807},210},{{623,884,1111},210}}
{{{641,841,780},210},{{641,841,1082},210}}

manthanein

规定三边和内切圆半径均为整数，三边最大公约数为1
这样的解是不是有无限个呢？有没有什么表示解的公式？
最后十二万分地感谢wayne管理员关心这个问题！！

xiaoshuchong

wayne 发表于 2015-10-26 15:23
设$ a = x+y, b = y+z, c = z+x$, 则 内切圆半径r： $ xyz=(x+y+z)r^2$
那么，固定$a,b,r$,我们得到一元三 ...

我得到的r,x方程跟你不一样，$x^{3}+x^{2}\left(-2a+b\right)+x\left(a^{2}-ab\right)+\left(x+b\right)r^{2}=0$
令$x=\frac{ab\left(a+b\right)}{X+ab}-b,r=\frac{Y}{X+ab}$,可以得到如下椭圆曲线
\[ Y^2=X\left(X-a^{2}\right)\left(X-b^{2}\right) \]
a,b在1000以内，还可以得到如下两组解
\[\begin{eqnarray*}
a,b,c,r&=&\left[339,436,\frac{9425}{17},\frac{1890}{17}\right],\left[339,436,\frac{7099}{17},\frac{1890}{17}\right]\\&\rightarrow&[5763,7412,9425,1890],[5763,7412,7099,1890]\\a,b,c,r&=&\left[73,97,\frac{3112}{65},\frac{1008}{65}\right],\left[73,97,\frac{2040}{13},\frac{1008}{65}\right]\\&\rightarrow&[4745,6305,3112,1008],[4745,6305,10200,1008]
\end{eqnarray*}\]