求教证明函数单调性问题

baixinbs

遇到一个实际问题，需要证明下面函数在(2*cos(Pi/5), 2)上单调：

我用mathmatica画了一下这个函数

看起来是单调的，但是我没法给出严格的证明。
如果能给我一些解决的思路，非常感谢。

gxqcn

变形一下，取其倒数，考察一下其单调性，不知可否？
\[f(x)=\frac12 \textrm{Log} [x]\left(1-\frac{\pi}{6 \textrm{ArcCsc}[\sqrt{2+x}]}\right)\]

baixinbs

嗯，主要是这两个乘积项一个单增一个单减。
我还用Mathmatica求了导数，证明导数大于0也可以。但是也不好证。
导数：

有没有数值方法能求解也行，看图得到的结果毕竟没说服力。

baixinbs

希望有数学分析学的好的同学帮个忙。多谢。

wayne

函数本身就比较复杂，求导之后等效于求一个非线性方程的根，而非线性方程的根本身没有统一的解法。只能数值求根了，然后确定是单调增的

baixinbs

感谢各位的回复。
我还考虑了是不是可以用泰勒展开，傅里叶变换什么的变成多项式什么的，但是也没做出来。
看来函数单调性证明看似简单，但是书本上的函数都是比较特殊的。真的实际的函数想证明单调性还真挺难的。

Buffalo

这是初中题啊，弟兄们，一个个都被唬住了。
按二楼gxqcn的思路，先把函数翻过来，变成\(\frac{1}{2}Log[x](1-\frac{\pi}{6ArcCsc[\sqrt{2+x}]})\)，在所给变量范围\(Log[x]\)大于零，单调增，因此只需考虑\(1-\frac{\pi}{6ArcCsc[\sqrt{2+x}]}\)的正负和单调性，在所给变量范围内\(ArcCsc[\sqrt{2+x}]\)大于\(\frac{\pi}{6}\)，且单调减（\(\sqrt{2+x}\)单调增，\(ArcCsc[y]\)单调减），所以\(1-\frac{\pi}{6ArcCsc[\sqrt{2+x}]}>0\)且单调增，因此原来的函数\(\frac{1}{2}Log[x](1-\frac{\pi}{6ArcCsc[\sqrt{2+x}]})\)大于零且单调增，原函数大于零且单调减。

补充内容 (2015-10-28 14:14):
增增减减写得太多自己晕了，最后一段“且单调增，因此原来的函数12Log[x](1−π6ArcCsc[2+x√])大于零且单调增，原函数大于零且单调减。”里面的增减互换就可以了

mathe

函数数值计算大于100?理论分析导函数绝对值一个上界，不需要很好，就可以知道只要数值计算部分采样点足够密，就可以证明了

baixinbs

mathe, 你是说给出导函数的一个下界吧？要是能证明导数有下界0就可以了啊，可是这个也不好证。

baixinbs

mathe 发表于 2015-10-27 17:54
函数数值计算大于100?理论分析导函数绝对值一个上界，不需要很好，就可以知道只要数值计算部分采样点足够密 ...

wayne，怎么证明在左端点处取到最大值呢？