有关一次式和整除

manthanein

先看一个很简单的事实：设\(x\)、\(y\)均为整数，\(x \gt y\)，\(x+y\)和\(x-y\)两个数中如果有一个是2的倍数，那么另一个也是2的倍数。
推广到一般情况：设\(x\)、\(y\)、\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)均为整数，\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)均不为零，记\(A=ax+by\)，\(B=cx+dy\)，\(A \gt 0\)，\(B \gt 0\)，如果\(A\)和\(B\)中有一个是某个大于1的正整数\(k\)的倍数，那么另一个也是\(k\)的倍数，在\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)已知的情况下，如何求出所有满足条件的\(k\)？

gxqcn

\(A-B=(a-c)x+(b-d)y\)
k 只需满足：\(k | \gcd(a-c, b-d)\)，即 \(k\) 为 \(a-c\), \(b-d\) 最大公约数的约数即可。

manthanein

gxqcn 发表于 2015-11-11 08:27
\(A-B=(a-c)x+(b-d)y\)
k 只需满足：\(k | \gcd(a-c, b-d)\)，即 \(k\) 为 \(a-c\), \(b-d\) 最大公约数的 ...

不对吧，这两个问题不等价

manthanein

\(A=2x+6y\)
\(B=5x+y\)
\(k=7\)
gxqcn先生给出的判别法似乎不能成立

manthanein

\(A=7(x+y)-B\)
如果A是7的倍数，那么B也是7的倍数
如果B是7的倍数，那么A也是7的倍数
有问题吗？

gxqcn

之前，确实考虑欠周，对不起！

如果能构造出整数 \( u,v,e,f\)，满足 \( u(ax+by)+v(cx+dy)\equiv k(ex+fy)\) 成立，且 \(\gcd(u,k)=1, \gcd(v,k)=1\)
则当 \(k|A=ax+by\) 时，必有 \(k|B=cx+dy\)

由恒等式成立的充要条件，\begin{cases}ua+vc=ke\\ub+vd=kf\end{cases}
削去 \(v\)，得 \(u(ad-bc)=k(ed-cf)\)
因 \(\gcd(u,k)=1\)，故 \(k|(ad-bc)\)

即，\(k\) 必为 \(|ad-bc|\) 的因子。

manthanein

gxqcn 发表于 2015-11-15 09:40
之前，确实考虑欠周，对不起！

如果能构造出整数 \( u,v,e,f\)，满足 \( u(ax+by)+v(cx+dy)\equiv k(ex+ ...

这应该是个必要条件。
考虑充分性：
\(A=5x+10y\)
\(B=2x+40y\)
\(\abs{ad-bc}=180\)
但是\(k=180\)时，取\(x=10\)，\(y=4\)，\(A=90\)，\(B=180\)
所以说这个条件还不充分