和二次同余有关的问题

manthanein · 发表于 2015-11-14 19:44:55

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求所有满足下列条件的正整数$n$（$n \gt 2$）:
对于任何满足$0 \lt p \lt n$的素数$p$，均不存在整数$x$满足$x^2 \equiv p \pmod n$
除了3、4、5，还有别的解吗？

mathe · 发表于 2015-11-14 22:34:23

由于对于n每个素因子q同样满足本题，所以我们可以先只查看n是素数情况
对于每个素数$p\lt n$而且$p\equiv1\pmod4$，我们有
$(\frac{n}{p})=(\frac{p}{n})=-1$
于是假设小于n而且模4为1的所有素数为$p_1,p_2,..,p_t$,于是得出$n=rp_1p_2...p_t-1>=p_1p_2...p_t-1$
于是容易得出$n<=13$（于是我们只要验算素因子2,3,5,7,11,13),余下就是查看它们的若干次组合了

manthanein · 发表于 2015-11-15 14:41:03

本帖最后由 manthanein 于 2015-11-15 14:47 编辑

mathe 发表于 2015-11-14 22:34
由于对于n每个素因子q同样满足本题，所以我们可以先只查看n是素数情况
对于每个素数$p\lt n$而且\(p\equ ...

先生的意思有一点含混？

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