一道有趣的定积分

wayne · 发表于 2015-11-18 13:18:35

马上注册，结交更多好友，享用更多功能，让你轻松玩转社区。

您需要登录才可以下载或查看，没有账号？欢迎注册

×

设$\varphi = {\sqrt{5}+1}/{2}$,求证:
\[\int_0^\infty\frac{1}{(1+x^\varphi)^\varphi}\mathrm dx = 1\]

mathe · 发表于 2015-11-18 13:51:04

可以试着做变量替换$y=1+x^{\varphi}$,于是积分变成
\[\int_1^{\infty}\frac{dy}{\varphi (y-1)^{1-\frac{1}{\varphi}}y^{\varphi}}\]
继续做替换$z=1/y$,我们可以得到
\[\int_0^{1}\frac{dz}{\varphi (1-z)^{1-\frac{1}{\varphi}}}\]

mathe · 发表于 2015-11-18 13:58:03

于是最后变成\[\left.-(1-z)^{\frac{1}{\varphi}}\middle|_0^1\right.=1\]

账号		自动登录	找回密码
密码			欢迎注册

[分享] 一道有趣的定积分

马上注册，结交更多好友，享用更多功能，让你轻松玩转社区。

评分

点评

评分