三角函数题

manthanein

给定三个实数A、B、C，存在角度\(\theta_{1}\)、\(\theta_{2}\)、\(\theta_{3}\)，使得下式成立：
\[A\sin\theta_{1}+B\sin\theta_{2}+C\sin\theta_{3}=A\cos\theta_{1}+B\cos\theta_{2}+C\cos\theta_{3}=0\]
问A、B、C要满足什么条件？

mathe

角度均pi/4必然全成立

manthanein

mathe 发表于 2015-11-22 20:47
角度均pi/4必然全成立

嗯？！那不等于增加了A+B+C=0的条件吗？

kastin

等价为关于 `(\theta_1, \theta_2, \theta_3)` 的非线性方程组$$\begin{align*}A\sin\theta_1+B\sin\theta_2+C\sin\theta_3&=0\\
A\sin(\theta_1-\frac{\pi}{2})+B\sin(\theta_2-\frac{\pi}{2})+C\sin(\theta_3-\frac{\pi}{2})&=0\\
A\sin(\theta_1-\frac{\pi}{4})+B\sin(\theta_2-\frac{\pi}{4})+C\sin(\theta_3-\frac{\pi}{4})&=0
\end{align*}$$恒有解时，参数 `A,B,C` 需要满足何种条件。
显然，`A,B,C` 很容易用 `\theta_1,\theta_2,\theta_3`表示，但是反过来就没有显式表达了。感觉这种条件本身可能极其复杂，或者分支极多。

manthanein

我说一个神奇的思路，大家评一评：
给出首尾相接的三个向量，它们的和为0。
这三个向量在坐标轴上的投影之和也为0。
而这些投影都可以用三角函数和向量的模表示。
于是当A、B、C为正数时，只要能组成三角形，就应该可以。

mathe

原来后面还有个=0.那就是三个向量和为0.-a=b+c，利用绝对值不等式即可

manthanein

mathe 发表于 2015-11-23 21:06
原来后面还有个=0.那就是三个向量和为0.-a=b+c，利用绝对值不等式即可

哦，能不能说详细点？

mathe

|-a|=|b+c|<=|b|+|c|
其实对应到几何就是三角形两边之和大于第三边