数字重排

Buffalo

n 进制的数码是1,2,3,...,h. (h=n-1),
证明或否定：如果自然数 k<h 并与 h 互素，则在 n 进制下，数 $[123 \cdots h]_n$ 的 k 倍是$1,2,\cdots, h$这 h 个数码的一个重排。
如果答案是肯定的或部分肯定，那么还有没有其它的类似结论？k>n 时有没有比较系统的修正命题？

mathe

我们可以查看无限循环小数$u=[0.123...h123...h123...h...]_n$
那么u的循环节为$h$,所以容易看出在$(k,h)=1$时,$k*u$的循环节长度也是$h$
现在我们查看$hu=[1.111...102111...102111...102...]_n$
这是一个非常规律的数，所以在$k<n$时$hku$的形式也非常简单，后面直接计算这个循环小数除以$h$应该就可以得出结果

mathe

还可以将上面$u$加上$[0.000...01000...01000...01...]_n$后考虑会更加方便

Buffalo

mathe 发表于 2015-11-29 10:14
我们可以查看无限循环小数$u=[0.123...h123...h123...h...]_n$
那么u的循环节 ...

循环节长度为$h$不保证$1$到$h$这$h$个数码会一个不漏地全部出现。最后要用到“直接计算”来证明基本上就跟没说一样了，要这么做不如直接用关系式$k*[123\cdots h]_n=\frac{k}{h}[11\cdots 101]_n=\frac{1}{h}[kk\cdots k0k]_n$更简单。

mathe

本来就是要转化为这个，而它n-1个不同数值是非常容易证明的。我没有去具体计算，但是鉴于两者间细微的区别，余下部分直觉已经不难了

mathe

最后一个微调应该只影响两位而其中一位是0,只要证明调节前数的末位同乘数互补即可，而缺的数值也很容易证明，所以不会太难