四个数中任意两个数相乘加上n，均为平方数

manthanein

比如说：
1 3 8 120四个数中任意两数之积加1，都是平方数
1 33 68 105中任意两数之积加256，都是平方数
规定n为整数。
这个问题好像比较复杂，现在我想知道，对于n=-1，有没有解？
如果是三个数，2，5,13是一组解。
四个数呢？

manthanein

n为整数，其他均为正整数。

manthanein

这个问题可以部分地转化为求这个不定方程组的整数解：
\((a^{2}-n)(b^{2}-n)(c^{2}-n)=X^{2}\)
\(XZ^{3}=(d^{2}-n)(e^{2}-n)(f^{2}-n)\)
比如说：
\((2^{2}-1)\times(3^{2}-1)\times(5^{2}-1)=24^{2}\)
\(24\times120^{3}=(11^{2}-1)\times(19^{2}-1)\times(31^{2}-1)\)

葡萄糖

在20世纪70年代末，英国Dovenport和Baker证明了：在\(1\)，\(3\)，\(8\)，\(x\)四个数中，任取其二相乘，乘积与\(1\)之和都是完全平方数，\(x\)只能取\(120\)。
参考：《数学的魅力 4》沈康身 P 234
如果不限制是整数则，还有\(\frac{1}{16}\)，\(\frac{33}{16}\)，\(\frac{68}{16}\)，\(\frac{105}{16}\)
\[
\begin{align*}
\frac{1}{16}\times\frac{33}{16}+1&=\left(\frac{17}{16}\right)^2\\
\frac{1}{16}\times\frac{68}{16}+1&=\left(\frac{18}{16}\right)^2=\left(\frac{9}{8}\right)^2
\\
\frac{1}{16}\times\frac{105}{16}+1&=\left(\frac{19}{16}\right)^2
\\
\frac{33}{16}\times\frac{68}{16}+1&=\left(\frac{18}{16}\right)^2=\left(\frac{25}{8}\right)^2\\
\frac{33}{16}\times\frac{105}{16}+1&=\left(\frac{61}{16}\right)^2
\\
\frac{68}{16}\times\frac{105}{16}+1&=\left(\frac{86}{16}\right)^2
=\left(\frac{43}{8}\right)^2\\
\end{align*}
\]
https://artofproblemsolving.com/community/c146h150369
https://artofproblemsolving.com/ ... thmetic_progression
On the family of Diophantine triples \(\{k-1, k + 1, 16k^3-4k\}\)
https://wenku.baidu.com/view/ef1c3a2b4b73f242336c5f61.html
A problem of Diophantus and Dickson’s conjecture
https://wenku.baidu.com/view/7bd514a10029bd64783e2c0f.html
https://artofproblemsolving.com/community/q1h1488258p8722006
https://artofproblemsolving.com/community/c3046h1183749