求不稳定物质的半衰期

KeyTo9_Fans

关于不稳定物质，我建立了一个衰变模型。

例如，某种不稳定物质有$3$种状态，用$0$、$1$、$2$来表示。

其中，状态$0$是稳定状态，其余状态都不是稳定状态。

例如，处于状态$1$的物质，在经过$1$个单位时间后，有$40%$会变成状态$0$，有$24%$会留在状态$1$，其余的$36%$会变成状态$2$；

又如，处于状态$2$的物质，在经过$1$个单位时间后，有$16%$会变成状态$0$，有$48%$会变成状态$1$，其余的$36%$会留在状态$2$。

而处于状态$0$的物质，永远都会留在状态$0$。

然而，我们并不知道一开始的时候，处于状态$0$、$1$、$2$的物质所占的比例$m_0$、$m_1$、$m_2$分别是多少，只知道$m_0$、$m_1$、$m_2$都大于$0$，以及$m_0+m_1+m_2=1$。

而关于半衰期的定义，则需要用到极限的概念。

假设经过了$t$（$t\rightarrow\infty$）个单位时间后，处于不稳定状态的物质所占的比例是$p_t$，

又经过了$1$个单位时间后，处于不稳定状态的物质所占的比例是$p_{t+1}$，

那么该物质的半衰期就等于$\frac{\ln(2)}{\ln(p_t/p_{t+1})}$。

问：对于上面所举的例子，该物质的半衰期是多少？

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如果给定的是：

不稳定的状态数目$s$，

以及处于状态$i$的物质转移到状态$j$的比例$r_{i,j}$，

其中$1\leq i\leq s$，$0\leq j\leq s$，$r_{i,j}>0$，$\sum_{j=0}^s r_{i,j}=1$，

那么又如何求出该物质的半衰期呢？

mathe

特征值分解，比如本题，稳定下来后状态1和2是1:1的关系，单位时间减少28%

BeerRabbit

我不会用Latex，只能暂时用图片了，如果结果还靠谱，请LZ给转一下代码

mathe

本题状态转移矩阵为
\[ M=\begin{bmatrix}
1 && 0.4&&0.16\\
0 &&0.24&&0.48\\
0 &&0.36&&0.36
\end{bmatrix} \]
也就是某个状态
\[\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix} \]
经过单位时间后会变成
\[ M\overrightarrow{v}=\begin{bmatrix}
1 && 0.4&&0.16\\
0 &&0.24&&0.48\\
0 &&0.36&&0.36
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix} \]
由于这个状态转移矩阵
特征值为$-0.12,0.72,1$,对应特征向量分别为
\[\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}
\frac{1}{3}\\
-\frac{4}{3}\\
1
\end{pmatrix}
,\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}
-2\\
1\\
1
\end{pmatrix}
,\overrightarrow{v_3}=\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \]
于是对于任意输入向量\(\overrightarrow{v}\)，我们可以假设写成\(\overrightarrow{v}=a_1\overrightarrow{v_1}+a_2\overrightarrow{v_2}+a_3\overrightarrow{v_3}\)
迭代n次后变成\(M^n\overrightarrow{v}=(-0.12)^n a_1\overrightarrow{v_1}+(0.72)^n a_2\overrightarrow{v_2}+a_3\overrightarrow{v_3}\)
其中第一项在n充分大后远远小于第二项，而第三项只有稳定状态，所以我们只需要考虑第二项，显然每过一个单位时间后不稳定状态是前一个时间的0.72倍
所以半衰期为\(\frac{\ln(2)}{\ln(\frac{1}{0.72})}=2.11\)

mathe

余下问题就是这种方法是否对于一般情况总是可行的吗?去掉矩阵中稳定状态对应的行列，得到一个所有元素非负的矩阵，根据谱分析，其绝对值最大特征值是正数，而且对应特征向量所有分量非负。也就是这总方法总是可行的