三角形中两夹角所交四边形面积

数学星空

如下图所示，设\(\frac{BD}{BC}=m_1,\frac{EC}{BC}=m_2,\frac{AG}{AC}=n_1,\frac{FC}{AC}=n_2\),\(\triangle ABC\)的三边及面积分别记为\(a,b,c,S\),求阴影部份四边形\(ＵＶＷＴ\)的面积\(s\)?

manthanein

可以考虑建立直角坐标系，算出各个点坐标，将四边形的面积转化为两个三角形面积之和，由此解决。

倪举鹏

疯狂使用梅什么劳斯定律  算比例。还有个简单方法，直接设角C等于90度，然后，你懂的

数学星空

我们可以建立坐标系：

\(A[x_0,y_0],B[0,0],C[a,0],D[m_1 a,0],[E,(1-m_2)a,0],[F,n_2 x_0+(1-n_2)a,n_2 y_0],G[n_1 a+(1-n_1)x_0,(1-n_1)y_0]\)

\(x_0^2+y_0^2=c^2,(x_0-a)^2+y_0^2=b^2\)

设\(U[x_1,y_1],V[x_2,y_2],W[x_3,y_3],T[x_4,y_4]\)

\(x_1 = -\frac{m_1(an_2-n_2x_0-a)}{m_1n_2-n_2+1}\)
\(y_1 = \frac{n_2y_0m_1}{m_1n_2-n_2+1}\)
\(x_2 = -\frac{m_1(an_1-n_1x_0+x_0)}{m_1n_1-m_1-n_1}\)
\(y_2 = \frac{y_0m_1(-1+n_1)}{m_1n_1-m_1-n_1}\)
\(x_3 = -\frac{am_2n_1-m_2n_1x_0-an_1+m_2x_0+n_1x_0-x_0}{m_2n_1-m_2+1}\)
\(y_3 = \frac{y_0(m_2n_1-m_2-n_1+1}{m_2n_1-m_2+1}\)
\(x_4 = -\frac{am_2n_2-m_2n_2x_0-am_2-an_2+n_2x_0+a}{m_2n_2-1}\)
\(y_4 = \frac{n_2y_0(-1+m_2)}{m_2n_2-1}\)

最终算得：

\(\D s=\frac{S(-1+n_1+n_2)(-1+m_1+m_2)(2m_1m_2n_1n_2-m_1m_2n_1-m_1m_2n_2-m_1n_1n_2-m_2n_1n_2+m_1m_2+m_1n_2+m_2n_1+n_1n_2-m_2-n_2)}{(m_2n_2-m_2-n_2)(m_2n_1-n_1+1)(m_1n_2-m_1+1)(1-m_1n_1)}\)

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当\(m_1=m_2=n_1=n_2=k\)时

\(s=\frac{2(2k-1)^2S}{(k+1)(k^2-k+1)(2-k)}\)

hujunhua

设DC/BC=m1, GC/AC=n1要好一点吧。原点统一（均以 C 为距离测量的原点)，表达式对称性会更高一些。

若定义一个优先级高于乘法的二元运算 `\circ: x\circ y:=xy-x-y`,那么结果就是
`\D s/S=(m_1-m_2)(n_1-n_2)\frac{m_1m_2\cdot n_1\circ n_2+m_1\circ m_2\cdot n_1n_2}{m_1\circ n_1\cdot m_1\circ n_2\cdot m_2\circ n_1\cdot m_2\circ n_2}`