给差分方程一个说法！

fungarwai

\(\displaystyle \Delta^{m+1} a_n=\sum_{k=0}^{m+1} (-1)^{m+1-k} C_{m+1}^k a_{n+k}=0\)的通解为
\(\displaystyle a_n=\sum_{k=0}^m (-1)^{m-k} C_{n-1-k}^{m-k} C_n^k a_k\)

完全不需要待定系数！

原以为只是用在推广费马小定理的和式出现在这里了！

kastin

组合反演公式相关理论中有更一般的结论。

fungarwai

kastin 发表于 2015-12-27 23:07
组合反演公式相关理论中有更一般的结论。

我没学过组合数学，你具体地说说看这个不用待定系数法要怎么求

\(a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=0\Rightarrow a_n=(2-2^n)a_0+(2^n-1)a_1\)

fungarwai

欸、提起母函数，想到一个问题

\(\displaystyle \frac{1}{(1-x)^m(1-x^2)^n}\)不想裂项，可以变成\(\displaystyle \frac{(1+x)^m}{(1-x^2)^{n+m}}\)

但是\(\displaystyle \frac{1}{(1-x)^m(1-2x)^n}\)该怎么办呢，还是这个裂项还能有通项

kastin

fungarwai 发表于 2015-12-28 07:35
我没学过组合数学，你具体地说说看这个不用待定系数法要怎么求

\(a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=0\Rightarrow ...

怎样才不叫待定系数法呢？待定系数与不待定系数又有何区别呢？
对于高中生，直接可分析得知该差分方程等价于$$\frac{a_{n+2}-2a_{n+1}}{a_{n+1}-2a_n}=1\tag{1}$$
或者$$\frac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+1}-a_n}=2\tag{2}$$于是解即为上述两种情况之和.剩下利用等比数列和等差数列公式，此处不多说。

其实更简单二本质的方法就是直接利用位移算子 `(E^2-3E+2)a_n=0 =>E=1或2`，故`(E-2)(E-1)a_n=0`，这就直接得到`(1)`或`(2)`了。但是我们接下来不像上面那么麻烦地求（特别是当这个算子多项式阶次太高的时候），而是直接利用线性算子理论。
考虑位移算子的首一 `k` 阶多项式$$f(E)a_n=(E-z_1)(E-z_2)\cdots(E-z_k)a_n=0,\, z_i\in \ZZ$$要求该解，只需知道`(E-z_i)a_n=0`的解即可，这个直接可以求出`a_n=z_ia_{n-1}=z_i^na_0`，由于任何线性方程的通解是基础解系构成的解空间，而线性差分方程的解的基是 `z_i^na_0`，那么整个解空间就是这些基的线性组合：$$a_n=\sum_{i=1}^kc_iz_i^n$$直接利用公式就是的了，不用求那么多`a_0到a_m`然后复杂求和。

fungarwai

kastin 发表于 2015-12-28 14:34
怎样才不叫待定系数法呢？待定系数与不待定系数又有何区别呢？
对于高中生，直接可分析得知该差分方程等 ...

这个就是待定系数法，c是需要待定的
需不需要待定就是求解速度的问题

fungarwai

1楼那个东西其实挺像拉格朗日插值法，说不定就是
嫌复杂就别当回事吧