n维向量的问题

manthanein

集合\(S_{1}=\{\overrightarrow X\mid \overrightarrow X=\overrightarrow P_{1}+\mu_{1}\overrightarrow M_{1}+\lambda_{1} \overrightarrow Q_{1} \}\)，集合\(S_{2}=\{\overrightarrow X\mid \overrightarrow X=\overrightarrow P_{2}+\mu_{2}\overrightarrow M_{2}+\lambda_{2} \overrightarrow Q_{2} \}\)，向量\(\overrightarrow \alpha\)、\(\overrightarrow \beta\)、\(\overrightarrow \gamma\)是\(S_{1} \bigcap S_{2}\)中的三个元素，且与这三个向量坐标表示形式上一致的三个点不共线，那么是否有\(S_{1}=S_{2}\)？其中\(\mu_{1}\)、\(\mu_{2}\)、\(\lambda_{1}\)、\(\lambda_{2}\)为实数参数。

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且与这三个向量坐标表示形式上一致的三个点不共线

也就是说，对于任何实数\(t\)，都有\(\overrightarrow \gamma \ne \overrightarrow \alpha +t(\overrightarrow \beta-\overrightarrow \alpha)\)

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集合\(S_{1}=\{\overrightarrow X\mid \overrightarrow X=\overrightarrow P_{1}+\mu_{1}\overrightarrow M_{1}+\lambda_{1} \overrightarrow Q_{1} \}\)
集合\(S_{2}=\{\overrightarrow X\mid \overrightarrow X=\overrightarrow P_{2}+\mu_{2}\overrightarrow M_{2}+\lambda_{2} \overrightarrow Q_{2} \}\)
互不相同的向量\(\overrightarrow \alpha\)、\(\overrightarrow \beta\)、\(\overrightarrow \gamma\)是\(S_{1} \bigcap S_{2}\)中的三个元素
且对于任何实数\(t\)，都有\(\overrightarrow \gamma \ne \overrightarrow \alpha +t(\overrightarrow \beta-\overrightarrow \alpha)\)，
那么是否有\(S_{1}=S_{2}\)？
其中\(\mu_{1}\)、\(\mu_{2}\)、\(\lambda_{1}\)、\(\lambda_{2}\)为实数参数。

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还是自己来试试，
任取一个向量\(\overrightarrow w \in S_{2}\)
构造三个集合：
\(L_{1}=\{\overrightarrow X \mid \overrightarrow X=\overrightarrow \alpha +t_{1}(\overrightarrow \beta-\overrightarrow \alpha\}\)
\(L_{2}=\{\overrightarrow X \mid \overrightarrow X=\overrightarrow \alpha +t_{2}(\overrightarrow \gamma-\overrightarrow \alpha\}\)
\(L_{3}=\{\overrightarrow X \mid \overrightarrow X=\overrightarrow \beta +t_{3}(\overrightarrow \gamma-\overrightarrow \beta\}\)
其中\(t_{1}\)、\(t_{2}\)、\(t_{3}\)是实数参数。

manthanein

还是自己来试试，
任取一个向量\(\overrightarrow w \in S_{2}\)
构造三个集合：
\(L_{1}=\{\overrightarrow X \mid \overrightarrow X=\overrightarrow \alpha +t_{1}(\overrightarrow \beta-\overrightarrow \alpha\}\)
\(L_{2}=\{\overrightarrow X \mid \overrightarrow X=\overrightarrow \alpha +t_{2}(\overrightarrow \gamma-\overrightarrow \alpha\}\)
\(L_{3}=\{\overrightarrow X \mid \overrightarrow X=\overrightarrow \beta +t_{3}(\overrightarrow \gamma-\overrightarrow \beta\}\)
其中\(t_{1}\)、\(t_{2}\)、\(t_{3}\)是实数参数。

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容易证明
\(L_{1} \subset S_{1} \bigcap S_{2}\)
\(L_{2} \subset S_{1} \bigcap S_{2}\)
\(L_{3} \subset S_{1} \bigcap S_{2}\)

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构造集合\(W\)，使得\(\overrightarrow w \in W\)，\(W \subset S_{2}\)，并且\(W \bigcap L_{1} \ne \varnothing\)，\(W \bigcap L_{2} \ne \varnothing\)。
假设\(\overrightarrow v_{1} \in W \bigcap L_{1}\)，\(\overrightarrow v_{2} \in W \bigcap L_{2}\)
所以\(\overrightarrow v_{1} \in W\)，\(\overrightarrow v_{2} \in W\)
从而\(\overrightarrow v_{1} \in S_{2}\)，\(\overrightarrow v_{2} \in S_{2}\)
构造集合\(K=\{\overrightarrow X \mid \overrightarrow X = \overrightarrow v_{1} +t_{4}(\overrightarrow v_{2}-\overrightarrow v_{1})\}\)
其中\(t_{4}\)为实数参数。

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容易证明
\(K \subset S_{2}\)

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但是，
\(\overrightarrow v_{1} \in L_{1}\)，\(\overrightarrow v_{2} \in L_{2}\)
另外
\(L_{1} \subset S_{1} \bigcap S_{2}\)
\(L_{2} \subset S_{1} \bigcap S_{2}\)

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所以，
\(L_{1} \subset S_{1}\)
\(L_{2} \subset S_{1}\)
所以，
\(v_{1} \in S_{1}\)
\(v_{2} \in S_{1}\)
所以，
\(K \subset S_{1}\)