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楼主: creasson

[原创] Sejfried定理的一个证明

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 楼主| 发表于 2021-10-8 18:19:23 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2021-10-8 04:56
Sejfried定理的构图有左右两个旋向,当把两个旋向的构图同时画出时,发现它俩的9个交点A,B,C,J,K,L,M,N,P位 ...

射影处理方式太过高端,看得云里雾里的。
事实上我到现在都没搞明白射影几何的内容,不过总感觉有理表示可以包含之(至少对于圆锥曲线应如是)。

点评

对于旁切圆结论如何  发表于 2021-10-8 19:24
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-10-8 21:51:50 | 显示全部楼层

旁切圆的构图

旁切圆也是二次曲线的外切圆,当然同样成立。
左为全图,右为旁切圆所在局部放大图。
EA9ECF0D-D9A2-4470-849A-02C4D857A6A4.jpeg 9DC58E4A-64F5-40FF-96A9-8ED43D95FD77.jpeg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-10-8 22:45:55 | 显示全部楼层
creasson 发表于 2021-10-8 18:19
射影处理方式太过高端,看得云里雾里的。
事实上我到现在都没搞明白射影几何的内容,不过总感觉 ...


我确实写得过于简略,不过若熟悉射影几何的基本知识,应能找出图中构成各交比之四点组的透视对应关系,然后根据交比的排列关系(共线四点的24种排列只有6个不同的交比值,因每个排列都有三个保交比的置换),理解前述的⑴、⑵、⑶式。
式中由共线三点ABC所定义的单比`(AB,C):=\frac{AC}{BC}`, 以及由共线四点ABCD所定义的交比`(AB,CD):=\frac{(AB,C)}{(AB,D)}`可见链接单比和交比,关于交比更多的知识见链接交比
使用单比表法,Sejfried定理的等式右边实际上应为负号 \[(BC,D)·(CA,E)·(AB,F)=-φ^6\]与塞瓦定理 `(BC,G)·(CA,H)·(AB,I)=-1`  相除,可将Sejfried定理由单比之积的形式改造为交比之积的形式\[(BC,DG)·(CA,EH)·(AB,FI)=φ^6\]由透视对应和交比的排列关系可知上式三个交比相等,故得更强的Sejfried定理(即前述⑵, ⑶式)\[(BC,DG)=(CA,EH)=(AB,FI)=φ^2\]由原Sejfried定理并不能直接立即计算出D,E,F的位置,只有用上述更强的连等式才行。

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