Sejfried定理的一个证明

creasson

hujunhua 发表于 2021-10-8 04:56
Sejfried定理的构图有左右两个旋向，当把两个旋向的构图同时画出时，发现它俩的9个交点A,B,C,J,K,L,M,N,P位 ...

射影处理方式太过高端，看得云里雾里的。
事实上我到现在都没搞明白射影几何的内容，不过总感觉有理表示可以包含之(至少对于圆锥曲线应如是)。

hujunhua

旁切圆也是二次曲线的外切圆，当然同样成立。
左为全图，右为旁切圆所在局部放大图。

hujunhua

creasson 发表于 2021-10-8 18:19
射影处理方式太过高端，看得云里雾里的。
事实上我到现在都没搞明白射影几何的内容，不过总感觉 ...

我确实写得过于简略，不过若熟悉射影几何的基本知识，应能找出图中构成各交比之四点组的透视对应关系，然后根据交比的排列关系（共线四点的24种排列只有6个不同的交比值，因每个排列都有三个保交比的置换），理解前述的⑴、⑵、⑶式。
式中由共线三点ABC所定义的单比`(AB,C):=\frac{AC}{BC}`, 以及由共线四点ABCD所定义的交比`(AB,CD):=\frac{(AB,C)}{(AB,D)}`可见链接单比和交比，关于交比更多的知识见链接交比。
使用单比表法，Sejfried定理的等式右边实际上应为负号 \[(BC,D)·(CA,E)·(AB,F)=-φ^6\]与塞瓦定理 `(BC,G)·(CA,H)·(AB,I)=-1`  相除，可将Sejfried定理由单比之积的形式改造为交比之积的形式\[(BC,DG)·(CA,EH)·(AB,FI)=φ^6\]由透视对应和交比的排列关系可知上式三个交比相等，故得更强的Sejfried定理（即前述⑵, ⑶式）\[(BC,DG)=(CA,EH)=(AB,FI)=φ^2\]由原Sejfried定理并不能直接立即计算出D,E,F的位置，只有用上述更强的连等式才行。