小学五年级的奥数题，关于概率的

TSC999

小明玩某款手机游戏，每玩一局时，需要先消耗1个游戏币才能开始游戏。每局如果游戏挑战失败，则此局游戏立刻结束；如果挑战成功，则奖励2个游戏币。奖励的游戏币可累积、并可供继续游戏。已知小明每局挑战成功的概率为2/3，若开始他只有1个游戏币，请问他能玩上第5局的概率是多少？

sheng_jianguo

先计算小明不能玩上第5局的概率：
小明不能玩上第5局只可能是，第1局输或第1局赢但第2局和第3局都输，故小明不能玩上第5局的概率
p1=1/3+2/3*1/3*1/3=11/27
再计算小明能玩上第5局的概率p：
p=1-p1=1-11/27=16/27

TSC999

楼上做法正确。毕竟是小学生的题目，难度有限。
如果把问题改一下，看看如何做？
小明玩某游戏，每玩一次时，需要先消耗 1 个游戏币才能开始游戏。每次如果游戏失败，又没有游戏币了，则游戏立刻结束；
     如果该次玩成功，则奖励 2 个游戏币，并可进入下一关。奖励的游戏币可累积、并可供继续游戏。
    已知小明每玩一次成功的概率为 2/3，若开始他只有 1 个游戏币，他能闯进第 5 关（这算挑战成功！）的概率是多少？

说明一下——与原题不同的地方是，若有5个游戏币，按原题，一定能玩到第5局或第 5 次，但是未必能进入第5关。
按修改后的意思，能玩 5 次或 5 局没问题，但能否升到第 5 关，那可就不一定了。某一局如果输了，就不能过关，下次玩仍是玩本关。

TSC999

问题修改以后，我是不会做了。但是我写了一个程序，得到概率大约是 0.53.
期待有高手给出概率的理论值。

补充内容 (2016-1-22 18:37):
将程序略加改进后，得到的模拟概率值约为 0.541.

倪举鹏

递推数列

倪举鹏

算算第N局有多大的概率得到K个硬币吧

TSC999

我得到的理论值是：
能通过第五关的概率是： 1184/2187 = 0.541380887……

TSC999

但是现在问题并没有得到完满解决，我希望有高人给出通过第 N 局的概率表达式。

TSC999

比如想求出挑战第 10 关成功的概率，总是画树枝图也不是个事，太麻烦了。我想应该有个计算公式吧？

TSC999

我算出的前几个结果是：