一个四元恒等式

creasson

看起来很简洁，但尚未找到证明方法
\begin{split}
&\mathrel{\phantom=}\sin\left(\frac{\theta_2-\phi_2}2\right)\sin\left(\frac{\theta_2-\varphi_1}2\right)\left(t\cos\left(\frac{\phi_1+\varphi_2}2\right)-\cos\left(\frac{\phi_1 - \varphi_2}2\right)\right)\sqrt{1-2t\cos\theta_1+t^2} \\
&=\sin\left(\frac{\theta_1-\phi_1}2\right)\sin\left(\frac{\theta_1-\varphi_2}2\right)\left(t\cos\left(\frac{\phi_2+\varphi_1}2\right)-\cos\left(\frac{\phi_2-\varphi_1}2\right)\right)\sqrt{1-2t\cos\theta_2+t^2}\\
\end{split}
其中
\begin{cases}
\theta_1\, = \arccos x + \arccos( tx ),\quad \theta_2 = \arccos x - \arccos( tx ) \\
\varphi_1 = \arccos y + \arccos( ty ),\quad \varphi_2 = \arccos y - \arccos( ty ) \\
\phi_1 = \arccos z +\, \arccos( tz ),\quad \phi_2 = \arccos z - \arccos( tz )
\end{cases}
式中各变量可以取至整个实数域

creasson

已证，如下：先取$y=0$，得到\[(1-t)\sqrt{1-2t\cos\theta_1+t^2}\sin\frac{\theta _2-\phi_2}2\cos\frac{\theta _2}2\cos\frac{\phi_1}2+(1+t)\sqrt{1-2t\cos\theta_2+t^2}\sin\frac{\theta_1-\phi_1}2\sin\frac{\theta_1}2\sin\frac{\phi_2}2=0\]再取$z=1$得到\[\sqrt{1-t}\sqrt{1-2t\cos\theta_1+t^2}\sin\frac{\theta_2+\arccos t}2\cos\frac{\theta_2}2=\sqrt{1+t}\sqrt{1-2t\cos\theta_2+t^2}\sin\frac{\theta_1-\arccos t}2\sin\frac{\theta_1}2\]此式两端平方相减，mathematica容易验证成立，而逆向的推导也是容易的，于是得证.

附说一下，这是坎迪(Candy)定理的代数方程表示，由此知其在一个相当宽泛的条件下成立，也即可做很多推广。

数学星空

你说的是蝴蝶定理的代数形式？

creasson

数学星空 发表于 2016-2-3 22:18
你说的是蝴蝶定理的代数形式？

是的