球面选点问题——菩萨的难题

mathe · 发表于 2016-2-25 17:15:39

n=7部分数值结果(最优值约10.347481)
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{x=-0.882856,y=0.047563,z=0.467229}
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{x=-0.232305,y=-0.751947,z=-0.616936}
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10.229293:{ 6 2 1 0 3 4 5 }
{x=-0.829004,y=-0.305277,z=-0.468570}
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{x=-0.374060,y=0.921734,z=-0.102401}
9.810631:{ 3 1 6 0 2 4 5 }
9.810631:{ 3 1 6 2 4 5 0 }
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9.810634:{ 3 4 0 2 6 1 5 }
9.810634:{ 2 3 1 6 0 4 5 }
9.810634:{ 3 2 4 5 1 6 0 }
9.810634:{ 2 6 1 5 3 4 0 }
{x=0.387960,y=0.533715,z=-0.751422}
{x=-0.411020,y=0.911622,z=0.002780}
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{x=-0.792233,y=-0.361077,z=-0.491925}
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10.225983:{ 3 0 1 2 5 6 4 }
10.225984:{ 3 0 1 2 6 5 4 }
10.225984:{ 3 0 1 6 2 5 4 }
10.225984:{ 3 1 0 4 5 2 6 }
10.225985:{ 5 2 1 0 3 4 6 }
10.225985:{ 3 5 2 1 0 4 6 }
10.225985:{ 3 4 0 1 2 5 6 }
10.225985:{ 3 0 4 5 2 1 6 }
10.225985:{ 5 4 3 0 1 2 6 }
10.225985:{ 5 2 1 3 0 4 6 }
10.225986:{ 5 3 0 1 2 6 4 }
10.225986:{ 3 5 4 0 1 2 6 }
10.225986:{ 5 6 2 1 0 3 4 }
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10.225986:{ 3 5 6 2 1 0 4 }
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10.225986:{ 5 4 0 3 1 2 6 }
10.225987:{ 2 1 0 3 5 4 6 }
10.225987:{ 5 6 2 1 3 0 4 }
{x=0.409771,y=0.579138,z=-0.704760}
{x=0.884845,y=0.197134,z=0.422122}
{x=-0.358265,y=0.864324,z=0.352974}
{x=-0.699326,y=0.119410,z=-0.704758}
{x=-0.764829,y=-0.486667,z=0.422129}
{x=0.272584,y=-0.657600,z=0.702325}
{x=0.331237,y=-0.799111,z=-0.501700}
10.347316:{ 4 5 1 2 0 3 6 }
10.347316:{ 2 0 3 4 5 1 6 }
10.347316:{ 4 5 1 0 2 3 6 }
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10.347318:{ 2 0 1 5 4 3 6 }
10.347318:{ 2 3 0 1 5 4 6 }
10.347318:{ 2 4 5 1 0 3 6 }
10.347318:{ 4 3 2 0 1 5 6 }
10.347318:{ 2 4 5 1 6 3 0 }
10.347318:{ 2 1 5 4 3 0 6 }
10.347318:{ 4 5 1 6 0 2 3 }
10.347318:{ 4 2 3 0 1 5 6 }
10.347319:{ 2 3 4 5 1 0 6 }
10.347319:{ 2 1 5 4 6 3 0 }
10.347319:{ 4 5 1 2 3 6 0 }
10.347319:{ 2 3 4 5 1 6 0 }
10.347319:{ 4 5 1 2 0 6 3 }
10.347320:{ 2 0 6 1 5 4 3 }
{x=0.128088,y=0.631300,z=-0.764888}
{x=-0.830248,y=-0.261015,z=-0.492503}
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{x=0.624647,y=-0.466795,z=-0.626034}
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{x=-0.626477,y=0.227957,z=0.745361}
{x=0.697452,y=0.550202,z=0.459172}
10.273379:{ 6 4 5 1 2 3 0 }
10.273380:{ 5 4 6 0 3 2 1 }
10.273380:{ 5 1 4 6 2 3 0 }
10.273381:{ 6 2 3 0 4 5 1 }
10.273381:{ 5 1 3 2 6 4 0 }
10.273381:{ 5 1 2 3 6 4 0 }
10.273381:{ 6 2 3 1 5 4 0 }
10.273381:{ 6 3 2 1 5 4 0 }
10.273381:{ 5 4 0 6 2 3 1 }
10.273381:{ 5 4 0 6 3 2 1 }
10.273382:{ 5 4 1 3 2 6 0 }
10.273382:{ 5 4 1 2 3 6 0 }
10.273383:{ 2 3 0 6 4 5 1 }
10.273383:{ 6 0 4 5 1 2 3 }
10.273383:{ 2 3 1 5 4 6 0 }
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10.273384:{ 6 4 1 5 2 3 0 }
10.273384:{ 5 1 4 0 6 2 3 }
10.273384:{ 5 2 3 0 6 4 1 }
10.273385:{ 2 3 6 0 4 5 1 }
{x=0.473861,y=-0.150116,z=-0.867710}
{x=-0.897248,y=0.284244,z=0.337862}
{x=0.529508,y=0.458109,z=0.713974}
{x=0.328995,y=0.786154,z=-0.523186}
{x=0.946797,y=-0.299936,z=-0.116675}
{x=0.169143,y=-0.679436,z=0.713973}
{x=-0.183687,y=-0.832187,z=-0.523186}
9.978260:{ 2 4 5 6 1 3 0 }
9.978261:{ 5 6 1 2 4 3 0 }
9.978261:{ 5 4 2 1 3 0 6 }
9.978261:{ 5 4 2 1 6 0 3 }
9.978261:{ 5 6 1 2 4 0 3 }
9.978262:{ 5 4 2 3 1 6 0 }
9.978262:{ 5 6 1 3 2 4 0 }
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9.978264:{ 2 4 0 3 1 5 6 }
9.978264:{ 2 4 5 1 6 0 3 }
{x=-0.674661,y=-0.111004,z=0.729734}
{x=-0.670903,y=0.088566,z=-0.736237}
{x=0.989585,y=0.125257,z=0.070933}
{x=-0.964934,y=0.262062,z=-0.015026}
{x=-0.231869,y=0.824904,z=-0.515529}
{x=-0.285366,y=0.748628,z=0.598434}
{x=-0.365371,y=-0.912044,z=-0.186224}
9.766359:{ 0 6 2 4 5 3 1 }
9.766361:{ 0 5 3 4 2 6 1 }
9.766361:{ 0 6 2 5 4 3 1 }
9.766361:{ 0 5 4 2 6 3 1 }
9.766362:{ 0 5 3 1 6 2 4 }
9.766362:{ 5 0 6 2 4 3 1 }
9.766362:{ 0 3 5 4 2 6 1 }
9.766362:{ 0 6 1 3 5 2 4 }
9.766363:{ 5 4 2 6 0 3 1 }
9.766363:{ 0 5 2 6 1 3 4 }
9.766363:{ 0 6 2 5 3 4 1 }
9.766363:{ 0 3 4 5 2 6 1 }
9.766363:{ 0 5 2 4 3 6 1 }
9.766363:{ 0 5 3 6 2 4 1 }
9.766364:{ 5 0 3 4 2 6 1 }
9.766364:{ 0 6 2 5 3 1 4 }
9.766364:{ 0 3 1 6 2 5 4 }
9.766364:{ 0 6 3 5 2 4 1 }
9.766365:{ 5 2 4 3 0 6 1 }
9.766365:{ 0 5 2 6 3 4 1 }

mathe · 发表于 2016-2-25 17:17:10

n=8的数值计算结果(最优值约11.214336)
{x=-0.282850,y=0.609699,z=0.740448}
{x=0.255664,y=-0.775507,z=0.577256}
{x=-0.456742,y=0.750893,z=-0.477018}
{x=0.589719,y=0.041196,z=-0.806557}
{x=-0.281578,y=-0.749055,z=-0.599692}
{x=0.770879,y=-0.590448,z=-0.238989}
{x=-0.826963,y=-0.235435,z=0.510591}
{x=0.825553,y=0.432639,z=0.362334}
10.848923:{ 1 7 0 2 6 4 5 3 }
10.848924:{ 1 7 0 6 2 4 5 3 }
10.848925:{ 1 5 4 6 2 0 7 3 }
10.848925:{ 1 4 6 2 0 7 5 3 }
10.848926:{ 1 6 2 0 7 3 5 4 }
10.848926:{ 1 5 4 2 6 0 7 3 }
10.848926:{ 1 4 5 7 0 6 2 3 }
10.848926:{ 1 4 2 6 0 7 5 3 }
10.848927:{ 7 0 2 6 1 4 5 3 }
10.848927:{ 1 6 0 2 4 5 7 3 }
10.848927:{ 0 2 6 1 4 5 7 3 }
10.848927:{ 0 7 1 6 2 4 5 3 }
10.848927:{ 0 2 6 4 5 1 7 3 }
10.848927:{ 1 7 0 6 2 3 5 4 }
10.848927:{ 1 7 5 4 6 0 2 3 }
10.848928:{ 1 6 4 5 7 0 2 3 }
10.848928:{ 0 2 6 4 1 7 5 3 }
10.848928:{ 1 6 4 2 0 7 5 3 }
10.848928:{ 1 5 3 7 0 2 6 4 }
10.848928:{ 0 2 6 1 7 3 5 4 }
{x=-0.568862,y=0.020490,z=0.822177}
{x=0.846300,y=-0.185469,z=-0.499377}
{x=0.604111,y=-0.223224,z=0.764997}
{x=-0.219663,y=0.556242,z=-0.801463}
{x=-0.253730,y=-0.922953,z=0.289445}
{x=-0.408346,y=-0.406498,z=-0.817321}
{x=-0.983267,y=0.167905,z=-0.070674}
{x=0.129360,y=0.899486,z=0.417363}
10.748746:{ 2 4 5 6 0 7 1 3 }
10.748747:{ 2 1 7 0 4 5 6 3 }
10.748747:{ 2 1 3 7 0 6 4 5 }
10.748747:{ 2 1 3 6 7 0 4 5 }
10.748747:{ 2 1 7 3 6 0 4 5 }
10.748747:{ 2 4 0 7 1 3 6 5 }
10.748747:{ 2 1 3 7 6 0 4 5 }
10.748747:{ 2 1 3 7 0 4 6 5 }
10.748747:{ 2 1 7 0 6 4 5 3 }
10.748748:{ 2 4 6 0 7 1 3 5 }
10.748748:{ 2 1 7 0 4 6 3 5 }
10.748748:{ 2 1 7 6 0 4 5 3 }
10.748748:{ 2 1 7 0 4 6 5 3 }
10.748748:{ 2 4 0 6 7 1 3 5 }
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{x=-0.172535,y=0.602316,z=-0.779389}
{x=0.300098,y=-0.735418,z=-0.607537}
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{x=-0.207585,y=-0.947064,z=0.244904}
10.825858:{ 4 3 0 2 5 7 6 1 }
10.825859:{ 5 2 0 3 4 7 6 1 }
10.825859:{ 5 7 1 6 0 2 4 3 }
10.825859:{ 4 3 0 2 5 7 1 6 }
10.825859:{ 5 2 0 3 4 7 1 6 }
10.825859:{ 5 2 0 6 1 7 4 3 }
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10.825861:{ 5 7 6 1 4 2 0 3 }
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10.825861:{ 5 2 0 6 7 1 4 3 }
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10.825861:{ 4 3 0 2 5 6 7 1 }
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{x=-0.444972,y=-0.787317,z=0.426769}
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{x=0.783952,y=-0.388505,z=-0.484236}
10.843733:{ 2 4 0 5 1 3 7 6 }
10.843734:{ 2 3 7 1 5 0 4 6 }
10.843735:{ 5 0 7 3 1 2 4 6 }
10.843735:{ 2 4 3 7 1 5 0 6 }
10.843735:{ 5 1 7 3 2 4 0 6 }
10.843735:{ 5 0 4 2 1 3 7 6 }
10.843736:{ 5 0 7 1 3 2 4 6 }
10.843736:{ 2 1 3 7 5 0 4 6 }
10.843736:{ 2 4 6 0 5 1 7 3 }
10.843736:{ 5 0 4 2 3 1 7 6 }
10.843736:{ 2 4 6 0 5 1 3 7 }
10.843737:{ 2 4 3 1 5 0 7 6 }
10.843737:{ 2 1 5 0 7 3 4 6 }
10.843737:{ 2 3 1 7 5 0 4 6 }
10.843737:{ 5 1 3 2 4 0 7 6 }
10.843737:{ 5 1 2 3 7 0 4 6 }
10.843737:{ 5 7 3 1 2 4 0 6 }
10.843737:{ 2 1 5 0 4 3 7 6 }
10.843737:{ 2 3 1 5 7 0 4 6 }
10.843737:{ 2 4 6 7 0 5 1 3 }
{x=0.703266,y=-0.475248,z=-0.528731}
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{x=-0.069373,y=0.839851,z=0.538365}
{x=0.837207,y=0.096149,z=0.538367}
11.157943:{ 5 2 7 0 4 6 1 3 }
11.157944:{ 7 4 0 2 5 6 1 3 }
11.157944:{ 7 0 4 6 5 2 3 1 }
11.157945:{ 7 2 5 6 4 0 3 1 }
11.157945:{ 5 6 4 0 7 2 3 1 }
11.157946:{ 5 6 1 3 2 7 4 0 }
11.157946:{ 7 4 0 3 2 5 6 1 }
11.157946:{ 7 0 4 1 6 5 2 3 }
11.157946:{ 7 0 4 6 1 5 2 3 }
11.157946:{ 7 2 5 6 1 4 0 3 }
11.157946:{ 6 5 2 7 4 0 3 1 }
11.157946:{ 7 2 5 1 6 4 0 3 }
11.157947:{ 7 2 0 4 6 5 1 3 }
11.157947:{ 6 5 2 7 0 4 1 3 }
11.157947:{ 6 4 0 7 2 5 1 3 }
11.157947:{ 2 7 0 4 6 5 1 3 }
11.157947:{ 5 6 1 4 0 7 2 3 }
11.157947:{ 5 1 6 4 0 7 2 3 }
11.157947:{ 7 2 5 3 1 6 4 0 }
11.157947:{ 7 2 3 1 5 6 4 0 }
{x=-0.470130,y=0.458651,z=0.754067}
{x=0.561980,y=-0.823971,z=-0.072464}
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{x=0.641716,y=-0.102278,z=-0.760092}
{x=-0.263710,y=0.824807,z=-0.500151}
{x=-0.996455,y=-0.035463,z=0.076287}
{x=-0.300800,y=-0.701395,z=0.646192}
10.889040:{ 3 4 5 0 6 7 1 2 }
10.889040:{ 7 1 2 6 0 3 4 5 }
10.889042:{ 3 0 6 2 7 1 4 5 }
10.889042:{ 3 0 6 7 2 1 4 5 }
10.889042:{ 3 4 1 7 2 6 0 5 }
10.889042:{ 3 4 1 2 7 6 0 5 }
10.889042:{ 7 1 3 4 5 0 6 2 }
10.889043:{ 3 0 6 5 4 1 7 2 }
10.889043:{ 7 6 0 5 4 3 1 2 }
10.889043:{ 0 6 2 7 1 3 4 5 }
10.889043:{ 0 3 4 5 6 7 1 2 }
10.889043:{ 0 6 7 2 1 3 4 5 }
10.889043:{ 3 0 5 4 1 7 6 2 }
10.889043:{ 7 2 1 4 3 0 6 5 }
10.889044:{ 3 0 6 7 1 2 4 5 }
10.889044:{ 7 6 2 1 4 3 0 5 }
10.889044:{ 0 6 5 4 3 1 7 2 }
10.889044:{ 3 4 2 1 7 6 0 5 }
10.889044:{ 3 1 7 2 6 0 5 4 }
10.889044:{ 3 1 4 5 0 6 7 2 }
{x=0.276231,y=0.806874,z=-0.522160}
{x=0.805405,y=-0.282987,z=-0.520808}
{x=0.777232,y=0.379409,z=0.501955}
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{x=-0.809854,y=0.269993,z=-0.520807}
{x=0.378523,y=-0.775414,z=0.505424}
{x=-0.278634,y=-0.813897,z=-0.509838}
{x=-0.381631,y=0.776142,z=0.501958}
11.209172:{ 7 3 4 0 2 5 6 1 }
11.209173:{ 5 6 1 0 2 7 3 4 }
11.209173:{ 5 6 1 2 7 3 4 0 }
11.209173:{ 7 2 0 4 3 5 6 1 }
11.209174:{ 5 2 7 0 4 3 6 1 }
11.209174:{ 5 2 7 3 4 6 1 0 }
11.209174:{ 5 6 4 3 7 2 0 1 }
11.209174:{ 7 2 5 6 3 4 0 1 }
11.209174:{ 5 2 0 7 3 4 6 1 }
11.209174:{ 5 2 7 3 6 1 0 4 }
11.209174:{ 7 2 0 1 6 5 3 4 }
11.209174:{ 5 2 7 0 1 6 3 4 }
11.209174:{ 7 3 4 6 5 2 0 1 }
11.209174:{ 5 6 1 2 0 7 3 4 }
11.209175:{ 5 3 7 2 0 4 6 1 }
11.209175:{ 7 2 1 6 5 3 4 0 }
11.209175:{ 7 2 5 3 4 6 1 0 }
11.209175:{ 7 3 5 2 0 4 6 1 }
11.209175:{ 5 6 3 4 0 7 2 1 }
11.209175:{ 5 6 4 3 7 2 1 0 }
{x=0.855781,y=0.157480,z=0.492787}
{x=0.157479,y=-0.855782,z=0.492786}
{x=-0.481539,y=-0.698730,z=-0.529052}
{x=-0.855780,y=-0.157481,z=0.492789}
{x=-0.698730,y=0.481537,z=-0.529053}
{x=-0.157481,y=0.855780,z=0.492788}
{x=0.481540,y=0.698728,z=-0.529054}
{x=0.698728,y=-0.481540,z=-0.529054}
11.212957:{ 3 5 0 6 7 1 2 4 }
11.212958:{ 3 1 7 2 4 5 0 6 }
11.212959:{ 0 6 7 2 1 3 5 4 }
11.212959:{ 3 1 2 7 6 0 5 4 }
11.212959:{ 5 3 1 0 6 7 2 4 }
11.212959:{ 3 1 2 4 5 0 6 7 }
11.212959:{ 5 0 6 7 1 3 2 4 }
11.212959:{ 3 5 4 2 7 1 0 6 }
11.212960:{ 3 5 0 6 4 2 1 7 }
11.212960:{ 0 5 3 1 7 2 4 6 }
11.212960:{ 5 0 6 7 2 1 3 4 }
11.212960:{ 3 5 4 2 1 7 0 6 }
11.212960:{ 0 5 3 4 2 1 7 6 }
11.212960:{ 1 3 5 0 6 7 2 4 }
11.212960:{ 0 5 3 1 2 7 6 4 }
11.212961:{ 0 6 7 1 2 3 5 4 }
11.212961:{ 3 2 1 7 6 0 5 4 }
11.212961:{ 3 5 4 2 1 0 6 7 }
11.212961:{ 5 3 4 2 7 1 0 6 }
11.212961:{ 0 1 3 5 4 2 7 6 }
{x=-0.751963,y=-0.510017,z=-0.417654}
{x=-0.525340,y=0.754318,z=0.393729}
{x=0.528690,y=-0.826080,z=-0.195137}
{x=-0.577806,y=-0.196568,z=0.792150}
{x=0.101573,y=-0.737974,z=0.667141}
{x=0.895248,y=0.315839,z=0.314289}
{x=0.528314,y=-0.196165,z=-0.826077}
{x=0.007371,y=0.686024,z=-0.727542}
10.699769:{ 3 4 2 6 5 1 7 0 }
10.699769:{ 4 2 6 5 7 1 3 0 }
10.699769:{ 3 0 7 1 5 4 2 6 }
10.699770:{ 4 2 6 7 5 1 3 0 }
10.699770:{ 4 3 1 5 7 0 2 6 }
10.699770:{ 4 3 1 7 5 6 2 0 }
10.699770:{ 3 4 5 1 7 0 2 6 }
10.699770:{ 5 1 7 0 3 4 2 6 }
10.699770:{ 3 4 2 6 5 7 1 0 }
10.699771:{ 4 5 7 1 3 0 2 6 }
10.699771:{ 3 0 1 7 5 4 2 6 }
10.699771:{ 4 3 1 5 7 6 2 0 }
10.699771:{ 3 4 5 1 7 6 2 0 }
10.699771:{ 5 1 7 6 2 4 3 0 }
10.699771:{ 3 4 2 6 7 5 1 0 }
10.699771:{ 3 1 5 4 2 6 7 0 }
10.699771:{ 3 4 2 0 7 1 5 6 }
10.699771:{ 5 6 2 4 3 1 7 0 }
10.699772:{ 4 2 0 3 1 7 5 6 }
10.699772:{ 3 4 5 7 1 0 2 6 }

lsr314 · 发表于 2016-2-25 22:05:31

从前面的讨论来看，最优解的直角坐标可以都是代数数，或许我们可以另辟蹊径，把这个作为一个假定，然后穷举一定范围内的所有整系数代数方程的实数根作为坐标值，这样的工作量其实不大。这样做的好处是不用随机取数，搜索量可以减少很多。

mathe · 发表于 2016-2-26 18:47:52

最优解坐标是代数数是显然的。但是穷举代数数坐标不可取，复杂度太大。
倒是可以根据很多不同路径的长度相同得出很多弧长之和相等的方程，这些方程必然形如
$\sum\arccos(x_ix_j+y_iy_j+z_iz_j)=\sum\arccos(x'_ix'_j+y'_iy'_j+z'_iz'_j)$
对于这样的方程两边同时取余弦还是相等，然后多次使用和差化积公式必然转为为各个角度正余弦乘积之和，其中每个正弦可以用余弦在代替
最后可以变成关于各坐标变量乘积和开根号混合运算的等式，然后最后去根号可以变换为多变量高次多项式组，所以结果必然为代数数。
当然，次数太高后，求解还是很困难的，但是数值求解应该还是比较容易的。

lsr314 · 发表于 2016-2-26 19:08:02

本帖最后由 lsr314 于 2016-2-26 19:43 编辑

mathe 发表于 2016-2-26 18:47
最优解坐标是代数数是显然的。但是穷举代数数坐标不可取，复杂度太大。
倒是可以根据很多不同路径的长度相 ...

并不能说是显然的，因为方程组的解是代数数必须满足未知数的个数和方程的个数相等，而有时候并不能得出这个结论，因为很多方程是等价的，不等价的方程不一定比未知数的个数多。我们可以这样想，将一个最优解的点集一起绕南极和北极的连线旋转任意一个角度，得到的点集必然还是最优解，因为各个点之间的距离并没有变，但是他们的坐标有可能不是代数数，所以满足那个方程组的解是至少有一个自由度的，虽然我们可以通过限制其中的一个点的x坐标或者y坐标=0来排除这个自由度，但是不能说明有这个限制以后不会还有一个自由度，也就是说解的个数还有可能是无穷多个，我们只能说代数数解是存在的。

lsr314 · 发表于 2016-2-26 21:03:59

本帖最后由 lsr314 于 2016-2-26 22:25 编辑

n=6的形状是这样的：赤道上方和下方各有一个平行于赤道的正三角形，6个点在赤道上的投影刚好是一个正六边形。
n=8的形状是这样的：赤道上方和下方各有一个平行于赤道的正方形，8个点在赤道上的投影刚好是一个正八边形。
当点的个数更多时，这些点很可能分布在若干个平行于赤道且上下对称的平面上，并且每个面上有一个正多边形。相邻两个面上的点的个数应该相等或者有倍数关系，交错排列。
这样的n应该蛮多的，我们只要确定各个面的高度，点的个数，就可以确定这些点的分布了。

mathe · 发表于 2016-2-27 15:42:53

现在我们已经可以通过搜索的方法得出一些不错的解了，但是由于在靠近极值点的地方，函数值变换非常缓慢，所以找出的点通常和极值点差距有点大。
但是我们发现，实际上最值总是由某些路径的取值相等来决定的（而不会使用某条路径上取极值这种约束（除了n=3)，而实际上某条路径的极大值对应三个点在一条大圆弧上三点路径构成大于pi的圆弧，这个特别在点多的时候是很难想象可以在最短路径中出现），所以在得到近似值以后，我们可以找出那些长度非常接近短路径，然后通过让充分多的短路径取相同的值解得各个坐标高精度值，如34#(当然为了解答唯一性，我们可以先通过旋转将要给点y坐标变为0，然后在限定这个点这个坐标为0的情况下求解）。
于是一般情况，这个问题变成，给定方程组
\[\begin{equation}\begin{cases}f_1(x_1,x_2,...,x_n)=0 \\
f_2(x_1,x_2,...,x_n)=0\\
...\\
f_m(x_1,x_2,...,x_n)=0
\end{cases}\end{equation}\]
的一组近似解
\[\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
...\\
x_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
x_1*\\
x_2*\\
..\\
x_n*
\end{pmatrix}\]
然后如何求其一组精确解
为此我们可以设一组高精度解满足$x_k=x_k*+\Delta_k$,而且其中$\Delta_k$都很小
于是我们可以近似有
\[f_h(x_1,x_2,...,x_n)=f_h(x_1*,x_2*,...,x_n*)+\sum_{k=1}^n\Delta_k\frac{\partial f_h}{\partial x_k}(x_1*,x_2*,...,x_n*)\]
记$\overrightarrow{\Delta}=\begin{pmatrix}
\Delta_1\\
\Delta_2\\
...\\
\Delta_n
\end{pmatrix},
\mathbb{M}=\begin{bmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x_1*,x_2*,...,x_n*) && \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x_1*,x_2*,...,x_n*) && ... &&\frac{\partial f_1}{\partial x_n}(x_1*,x_2*,...,x_n*)\\
\frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x_1*,x_2*,...,x_n*) && \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x_1*,x_2*,...,x_n*) && ... &&\frac{\partial f_2}{\partial x_n}(x_1*,x_2*,...,x_n*)\\
&&...&& \\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1}(x_1*,x_2*,...,x_n*) && \frac{\partial f_m}{\partial x_2}(x_1*,x_2*,...,x_n*) && ... &&\frac{\partial f_m}{\partial x_n}(x_1*,x_2*,...,x_n*)
\end{bmatrix},\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}
-f_1(x_1*,x_2*,...,x_n*)\\
-f_2(x_1*,x_2*,...,x_n*)\\
...\\
-f_m(x_1*,x_2*,...,x_n*)
\end{pmatrix}$
于是上面方程组可以近似表示为关于$\Delta_1,\Delta_2,...,\Delta_n$的线性方程组:
于是方程组近似为
\[\begin{equation}\mathbb{M}\overrightarrow{\Delta}=\overrightarrow{b}\end{equation}\]唯一的问题在于如果m选择不是很恰当时方程会比较病态，实际上会可能找到很多近似解。
为此，我们可以改为求在这个线性方程组约束下求$\Delta_1^2+\Delta_2^2+...+\Delta_n^2$的最小值，使用拉格朗日乘数法引入系数向量
$\overrightarrow{\lambda}=\begin{pmatrix}\lambda_1\\ \lambda_2\\ ...\\ \lambda_m\end{pmatrix}$
设目标函数为
$\Delta_1^2+\Delta_2^2+...+\Delta_n^2
-2\overrightarrow{\lambda}^T(\mathbb{M}\overrightarrow{\Delta}-\overrightarrow{b})$
对变量$\Delta_k$分别求导可以得出
\[\begin{equation}
\mathbb{M}^T\overrightarrow{\lambda}= \overrightarrow{\Delta}\end{equation}\]
和前面方程$(2)$消去$\overrightarrow{\Delta}$即可转为另外一组$m\times m$的方程组
\[\begin{equation}\mathbb{M}\mathbb{M}^T\overrightarrow{\lambda} =\overrightarrow{b}\end{equation}\]
这个方程任意求出一组解然后代会前面方程$(3)$可以得出$\Delta_1,\Delta_2,...,\Delta_n$从而得出一个更好的逼近解。反复迭代上面过程就可以得出高精度解。
而另外在求解过程中，系数矩阵的秩（如果将充分小的数看成0）可以用来判断是否需要添加更多的路径，只要秩还小于变量数目n,我们就可以继续添加路径，增加方程数目，直到秩正好达到n

lsr314 · 发表于 2016-2-29 16:08:21

mathe 发表于 2016-2-27 15:42
现在我们已经可以通过搜索的方法得出一些不错的解了，但是由于在靠近极值点的地方，函数值变换非常缓慢，所 ...

Mathematica有一个FindRoot[]函数，可以实现在某个点附近寻找精度很高的数值解，我估计也是用切线法或者二分法实现的

wayne · 发表于 2016-3-1 19:38:40

lsr314 发表于 2016-2-29 16:08
Mathematica有一个FindRoot[]函数，可以实现在某个点附近寻找精度很高的数值解，我估计也是用切线法或者 ...

参考Mathematica文档 tutorial/SomeNotesOnInternalImplementation#2118

FindRoot uses a damped Newton's method, the secant method, and Brent's method.

hujunhua · 发表于 2016-12-21 18:06:03

lsr314 发表于 2016-2-21 18:04
这个问题由于起点和终点的相对位置已经确定，所以得到的结果往往是不对称的。如果把南极和北极去掉，那么结 ...

佛祖最近逛过本坛后，听到你的意见，决定改变策略。

大雷音寺不再固定地设在长安的对径点，而是移到弟子观音菩萨的设点之一上去。
不过，佛祖可不是出于设点的对称性考虑，而是因为多一点自由度，就多一些机会得到更长的最短路径。

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[提问] 球面选点问题——菩萨的难题