多元函数极值

倪举鹏

已知a,b,c都是正数，且a<b<c.求(a^3+b^3+c^3-3*a*b*c)/((a-b)*(b-c)*(c-a))的极小值。
我用一个很流氓的方法得出了个结果 。我不知道这样的一般式子的一般求法。

kastin

代换 `x=b-a`, `y=c-b`, 那么 `c-a=（x+y）`, 于是相当于 `x,y>0` 求$$\frac{(a+b+c)(x^2+y^2+xy)}{xy(x+y)}$$的极小值。显然多出一个 `a+b+c` 项，似乎条件不足以确定极小值。

1. Minimize[{(a^3 + b^3 + c^3 - 3 a b c)/(a - b)/(b - c)/(c - a),
   
2.   c > b > a > 0}, {a, b, c}]

复制代码

结果返回：
Minimize::natt: 无法在任何满足给定约束条件的点取得最小值. >>
Out[1]={Root[#1^4-18 #1^2-27&,2],{a->1,b->Indeterminate,c->Indeterminate}}

这个逼近的值是 `\sqrt{3 \left(3+2 \sqrt{3}\right)}`

wayne

倪举鹏

没错(9 + 3 Sqrt[2] 3^(1/4) + 3 Sqrt[3] + 2 Sqrt[2] 3^(3/4))/(1 + Sqrt[3] +
  Sqrt[2] 3^(3/4))=Sqrt[3*(3 + 2*Sqrt[3])]。没想到你们直接软件秒了。我的方法是先令a=1,看剩下两个函数的曲面图像，感觉有个渐进面。求出b=无穷大，c=b*1/2 (1 + Sqrt[2] 3^(1/4) + Sqrt[3])

倪举鹏

这问题的最终目的相当求1/x的最小值了，x等于无穷大，值等于0

发疯的_小男孩

$(a^3-3*a*b*c+b^3+c^3)^2-(9+6*sqrt(3))*(a-b)^2*(b-c)^2*(c-a)^2 = ((1/2*(2*T+(2-sqrt(3))*t))*(sqrt(3)*t-2*T+t)^2*u+4*(t+T)^5)/(4*T^3+12*T^2*t+12*T*t^2+4*t^3+4*T*u+t*u) and ((1/2*(2*T+(2-sqrt(3))*t))*(sqrt(3)*t-2*T+t)^2*u+4*(t+T)^5)/(4*T^3+12*T^2*t+12*T*t^2+4*t^3+4*T*u+t*u) >= 0$


$[t = a*(a-b)*(a-c)+b*(b-c)*(b-a)+c*(c-a)*(c-b), T = (b+c)*(a-b)*(a-c)+(c+a)*(b-c)*(b-a)+(a+b)*(c-a)*(c-b), u = (a+b+c)^3*(a-b)^2*(b-c)^2*(c-a)^2/(a*b*c)]$