求个积分数值解

倪举鹏

直接求解无限等待。希望可以用其他方法得出数值解

282842712474

第一步积分不是可以直接算出来么...结果是
$$\frac{1}{4} \left(2 c \sqrt{a+c^2}+2 a \ln \left(\sqrt{a+c^2}+c\right)-a \ln a\right)$$
这里
$$a=1+t^2+t^2(1+t^2),\quad c=\sqrt{1+t^2}$$
然后直接数值积分得到
$$1.2807892752734...$$

wayne

282842712474 发表于 2016-3-30 09:20
第一步积分不是可以直接算出来么...结果是
$$\frac{1}{4} \left(2 c \sqrt{a+c^2}+2 a \ln \left(\sqrt{a+ ...

有空拆开算算，看看闭式表达能走多远

282842712474

留意到$a=c^4$，因此事实上最后的积分是
$$\int_0^1 \frac{1}{2}\left[\sqrt{1+c^2}+c^2 \ln \left(\frac{1+\sqrt{1+c^2}}{c}\right)\right]dt$$
其中第一部分可以算出来，结果是
$$\frac{1}{4} \left(\sqrt{3}+2 \text{arcsinh}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)$$
第二部分
$$ \ln \left(\frac{1+\sqrt{1+c^2}}{c}\right) =\text{arcsinh} \frac{1}{c}$$
暂时没想到进一步计算的思路。