有没有反例

manthanein

给定n^2个实数，将它们排列成n*n的方阵，使得每一行、每一列、两条对角线上数的和都相等。比如说：
57        1        53
33        37        41
21        73        17
此时这n^2个实数必定同样可以排列成n*n的方阵，使得每一行均呈等差数列，且公差相等；每一列均呈等差数列，且公差相等：
1        17        33
21        37        53
41        57        73

问题：
（1）有没有反例？
（2）如果有，加上其他的限制条件后，这个结论能否正确？

gxqcn

那你试试这个：15个“\(0\)”，5个“\(1\)”及5个“\(2\)”，可排成如下方阵：

1. 0        0        0        1        2
   
2. 0        1        2        0        0
   
3. 2        0        0        0        1
   
4. 0        0        1        2        0
   
5. 1        2        0        0        0

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请“还原”成等差方阵……

manthanein

gxqcn 发表于 2016-3-31 10:17
那你试试这个：15个“\(0\)”，5个“\(1\)”及5个“\(2\)”，可排成如下方阵：

请“还原”成等差方阵… ...

太厉害了，果然有例外。

manthanein

考虑增加一个限制条件：各个数不重复。

gxqcn

下面是一个由连续素数构成的3阶幻方（注：其幻和常数同类型中为最小），你试着去“复原”吧。。。

1. 1480028201        1480028129        1480028183
   
2. 1480028153        1480028171        1480028189
   
3. 1480028159        1480028213        1480028141

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这么大的数字，我们可以先“线性”简化，并不会对“复原”过程造成任何影响（只会更浅显）。

第一步：将各数对应减去最小的元素（“1480028129”），结果如下：

1. 72        0        54
   
2. 24        42        60
   
3. 30        84        12

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第二步：将各数对应除以最大公约数（“6”），结果如下：

1. 12        0        9
   
2. 4        7        10
   
3. 5        14        2

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hujunhua

5#的例子确实可以复原
0     2     4
5     7     9
10  12  14
容易证明对于三阶是成立的，但仅此而已。再高就不一定了。
三阶幻方的代数解如下：
-a     a+b    -b
a-b     0     b-a
b     -a-b     a
可以重排为
-a-b   -b    a-b
  -a     0     a
-a+b   b    a+b
看得出来，不仅各行各列为等差数数列，连两条对角线上都是。

manthanein

hujunhua 发表于 2016-4-1 17:20
5#的例子确实可以复原
0     2     4
5     7     9

试了一个五阶的，源于素数幻方，按5楼的办法简化
好像不能复原
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manthanein

四阶的，应该是例外
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manthanein

manthanein 发表于 2016-4-2 00:05
试了一个五阶的，源于素数幻方，按5楼的办法简化
好像不能复原
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罗伯法巴舍法这时全失效

manthanein

10阶的，应该也不能复原
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