莫比乌斯

hujunhua · 发表于 2016-3-31 09:05:45

暂时还看不到“麦比乌斯反演”对于这个函数的计算和推导有何帮助。

aimisiyou · 发表于 2016-3-31 20:38:04

令 \(\displaystyle F(n)=\sum_{d|n} f(d)=2f(n) \), 故 \(\displaystyle f(n)=\sum_{d|n}u\left(\frac {n}{d}\right)F(d)=\sum_{d|n}u\left(\frac {n}{d}\right)2f(d) \)

aimisiyou · 发表于 2016-3-31 21:12:10

当 \(n=p^iq^j\), 有\(f(p^iq^j)=\displaystyle \sum_{d|n}u\left(\frac {n}{d}\right)2f(d)=2f(p^iq^j)-2f(p^{i-1}q^j)-2f(p^iq^{j-1})+2f(p^{i-1}q^{j-1})\),
即 \(g(i,j)=2g(i-1,j)+2g(i,j-1)-2g(i-1,j-1)\), \( (i+j>3)\)
初值：\(g(0,0)=1,g(1,1)=3,g(i,0)=2^{i-1},g(0,j)=2^{j-1}\)

hujunhua · 发表于 2016-4-1 17:51:15

g[m_, n_] :=
计算`g(i,j)`的M10程序

Module[{f}, f[0, 0] = 1; f[1, 1] = 3; f[i_, 0] := 2^(i - 1);
f[0, i_] := 2^(i - 1);
f[i_, j_] :=
f[i, j] = 2 f[i, j - 1] + 2 f[i - 1, j] - 2 f[i - 1, j - 1];
f[m, n]
]
Table[g[m, n], {m, 0, 10}, {n, 0, 10}] // TableForm

复制代码

输出的前121项结果如下
1 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512
1 3 8 20 48 112 256 576 1280 2816 6144
2 8 26 76 208 544 1376 3392 8192 19456 45568
4 20 76 252 768 2208 6080 16192 41984 106496 265216
8 48 208 768 2568 8016 23776 67776 187136 503296 1324032
16 112 544 2208 8016 26928 85376 258752 756224 2144768 5931008
32 256 1376 6080 23776 85376 287648 922048 2839040 8455168 24482816
64 576 3392 16192 67776 258752 922048 3112896 10059776 31351808 94758912
128 1280 8192 41984 187136 756224 2839040 10059776 34013312 110610688 348035584
256 2816 19456 106496 503296 2144768 8455168 31351808 110610688 374416128 1223682048
512 6144 45568 265216 1324032 5931008 24482816 94758912 348035584 1223682048 4145895936

aimisiyou · 发表于 2016-4-1 18:05:18

本帖最后由 aimisiyou 于 2016-4-1 18:08 编辑

hujunhua 发表于 2016-4-1 17:51
g[m_, n_] :=
计算`g(i,j)`的M10程序

感觉数值大了递归运算很吃力吧！再者，由g(i,j)向g(i,j,k,……)发展更复杂。

aimisiyou · 发表于 2016-4-3 08:18:07

EXCEL里直接拖拉易得结果。

aimisiyou · 发表于 2016-4-6 19:58:35

hujunhua 发表于 2016-3-29 12:02
`f(p^k)=2^{k-1}`, (`p`为素数，`k>0` 时）
`\D f(n)=h(k)=\sum_{r=0}^{k-1}C_k^rh(r),h(0)=1`. 当 `n` 是 ...

\(h(k)的显式能求出来么？\)

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