另一类差分方程求解

数学星空

在下面的问题中，mathe提供了非常绝妙的求解方案得到相应的结果：

http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 71&fromuid=1455

我们现在讨论另一类差分方程：

1.\(x_{n+1}=\sin(x_n)\)

2.\(\sin(\tan(x_{n+1}))=\tan(\sin(x_n))\)

尽可能给出精确\(x_n\)关于\(n\)的渐近的表达式？

进一步给出更一般差分方程：(\(x_n\)有界）

\(x_{n+1}=ax_n+bx_n^2+cx_n^3+dx_n^4+ex_n^5+fx_n^6+gx_n^7+\dots\)

求\(x_n\)的渐近表达式？

数学星空

在<估计基础>中已求出第一问的渐近表示：

\(x_n=\sqrt{\frac{3}{n}}(1-\frac{3\ln(n)}{10n}-\frac{c}{2n}+\frac{\alpha\ln(n)^2+\beta\ln(n)+\gamma}{n^2}+O(\frac{\ln(n)^3}{n^3}))\)

\(\alpha=\frac{27}{200},\beta=\frac{9c}{20}-\frac{9}{50},\gamma=\frac{3c^2}{8}-\frac{3c}{10}+\frac{79}{100}\),且c为依赖于\(x_0\)的常数．

我们希望给出更精确的渐近结果包含c的具体渐近表达式？

mathe

第二问同样设$y_n=1/{x_n}$,有$y_{n+1}=y_n-1/{30y_n^5}-41/{1890y_n^7}-88/{4725y_n^9}+...$
对应链接中k=6的问题

数学星空

当然，我们可以根据2＃表达式的特点利用待定系数法求解得到第1问题更精确的渐近展开：

\(x_n=\sqrt{\frac{3}{n}}(1-\frac{3(\ln(n)+c)}{10n}+\frac{\frac{27}{200}(\ln(n)+c)^2-\frac{9}{50}(\ln(n)+c)+\frac{79}{700}}{n^2}+\frac{-\frac{27}{400}(\ln(n)+c)^3+\frac{27}{125}(\ln(n)+c)^2-\frac{1941}{7000}(\ln(n)+c)+\frac{411}{3500}}{n^3}+\frac{\frac{567}{16000}(\ln(n)+c)^4-\frac{1917}{1000}(\ln(n)+c)^3+\frac{1683}{4000}(\ln(n)+c)^2-\frac{7227}{17500}(\ln(n)+c)+\frac{1168171}{7480000}}{n^4}+\cdots)\)

数学星空

发现下面链接中方法不太适用此超越函数形式的差分方程：

http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 71&fromuid=1455

例如：对于第二题

\(\sin(\tan(x_{n+1}))=\tan(\sin(x_n))\)

首先做级数展开，然后令\(x_n=\frac{1}{y_n}\)

1.\(y_{n+1}=y_n-\frac{1}{30y_n^5}-\frac{41}{1890y_n^7}-\frac{88}{4725y_n^9}-\frac{2477}{138600y_n^{11}}+\dots \)

然后左右各6次方后展开

\(y_{n+1}^6-y_n^6+\frac{1}{5}+\frac{41}{315y_n^2}+\frac{176}{1575y_n^4}+\frac{523}{5775y_n^6}+\dots=0\)

下一步无法做代换\(y_n^6=z_n\)???

并且\(c\)计算也同样存在问题？

mathe

这个石子可以假设$y_n^6=n(1/5+\sum_{k=1}^{+\infty} {c_k}/{n^{k/3}})$
然后$y_n^2=n^{1/3}(1/5+\sum_{k=1}^{+\infty} {c_k}/{n^{k/3}})^{1/3}$
代入比较系数即可，结果应该比第一题更加简单一些

mathe

上面问题本质上就是展开$(1+1/n)^{-k/3}$,利用泰勒级数可以非常容易就展开了

mathe

可以得出$y_n^6=n(1/5+41/{210n^{1/3}}+176/{525n^{2/3}}+...)$

282842712474

数学星空 发表于 2016-4-2 11:28
在中已求出第一问的渐近表示：

\(x_n=\sqrt{\frac{3}{n}}(1-\frac{3\ln(n)}{10n}-\frac{c}{2n}+\frac{\a ...

你说的《阶的估计基础》是指哪本书