求通解

northwolves

求n²+(n+1)²=k²在自然数范围内的通解

mathe

这个可以转化为求Pell方程
x^2-2y^2=1或x^2-2y^2=-1
对于上面方程的解，
分别取
n=2xy和
n=(x+y)^2-y^2=x^2+2xy
就可以了
比如
x=1,y=1满足第二个方程
所以取n=1^2+2*1*1=3是一个解。
同样x=3,y=2满足第一个方程
这时取n=2*x*y=12是另外一个解。

manthanein

http://oeis.org/A001652

manthanein

\begin{align*}a_n &= \frac{(1+\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})^n-(\sqrt{2}-1)(3-2\sqrt{2})^n-2}{4}\\[.5cm]
&=\frac{(\sqrt{2}+1)^{2n+1}-(\sqrt{2}-1)^{2n+1}-2}{4}\end{align*}

mathematica

1. Reduce[n^2 + (n + 1)^2 == k^2 && n > 0 && k > 0, {n, k}, Integers]

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\[c_1\in \mathbb{Z}\land c_1\geq 2\land n=\frac{1}{4} \left(\sqrt{2} \left(2 \sqrt{2}+3\right)^{c_1}-\left(2 \sqrt{2}+3\right)^{c_1}-\sqrt{2} \left(3-2 \sqrt{2}\right)^{c_1}-\left(3-2 \sqrt{2}\right)^{c_1}-2\right)\land k=\frac{1}{4} \left(-\sqrt{2} \left(2 \sqrt{2}+3\right)^{c_1}+2 \left(2 \sqrt{2}+3\right)^{c_1}+\sqrt{2} \left(3-2 \sqrt{2}\right)^{c_1}+2 \left(3-2 \sqrt{2}\right)^{c_1}\right)\]