求圆上三个有理点

zhouguang

如图，在半径为根号2的圆上，求三个点A、B和C同时满足：
1、点A、B和C的横坐标和纵坐标都是有理数；
2、点A、B和C都不是点（1，1）；
3、点A、B和C的纵坐标（即图中的三根竖线的长度）的平方和为3。

三点示意图

kastin

过点(1,1)作一条斜率为有理数 `k` 的直线，交圆于另一点，显然这个交点也是有理数。直接求解可得交点坐标为$$x=\frac{k^2-2k-1}{k^2+1},y=-\frac{k^2+2k-1}{k^2+1}\tag{1}$$
楼主的问题等价于找到三个不同的有理数 `k_1,k_2,k_3`，满足$$y_1^2+y_2^2+y_3^2=3$$且`k_1,k_2,k_3\neq -1`.
这又等价为一个更加复杂的方程有理解了。

在`(1)`中令`k=p/q`，并带入方程 `x^2+y^2=2`，整理后可得到不定方程 `a^2+b^2=2c^2`的正整数解。

zhouguang

1、列出4n+1的素数ps，即：ps = Select[Table[4 i + 1, {i, 100}], PrimeQ]，结果为：
{5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, \
157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, \
317, 337, 349, 353, 373, 389, 397, 401}
2、找到4n+1的素数ps的高斯整数的一个因子，即：is = Map[FactorInteger[#, GaussianIntegers -> True][[-1, 1]] &, ps]，结果为：
{2 + I, 3 + 2 I, 4 + I, 5 + 2 I, 6 + I, 5 + 4 I, 7 + 2 I, 6 + 5 I,
8 + 3 I, 8 + 5 I, 9 + 4 I, 10 + I, 10 + 3 I, 8 + 7 I, 11 + 4 I,
10 + 7 I, 11 + 6 I, 13 + 2 I, 10 + 9 I, 12 + 7 I, 14 + I, 15 + 2 I,
13 + 8 I, 15 + 4 I, 16 + I, 13 + 10 I, 14 + 9 I, 16 + 5 I, 17 + 2 I,
13 + 12 I, 14 + 11 I, 16 + 9 I, 18 + 5 I, 17 + 8 I, 18 + 7 I,
17 + 10 I, 19 + 6 I, 20 + I}
3、化为模为1的高斯整数gs，gs=is^2/ps，结果为：
{3/5 + (4 I)/5, 5/13 + (12 I)/13, 15/17 + (8 I)/17, 21/29 + (20 I)/29,
  35/37 + (12 I)/37, 9/41 + (40 I)/41, 45/53 + (28 I)/53,
11/61 + (60 I)/61, 55/73 + (48 I)/73, 39/89 + (80 I)/89,
65/97 + (72 I)/97, 99/101 + (20 I)/101, 91/109 + (60 I)/109,
15/113 + (112 I)/113, 105/137 + (88 I)/137, 51/149 + (140 I)/149,
85/157 + (132 I)/157, 165/173 + (52 I)/173, 19/181 + (180 I)/181,
95/193 + (168 I)/193, 195/197 + (28 I)/197, 221/229 + (60 I)/229,
105/233 + (208 I)/233, 209/241 + (120 I)/241, 255/257 + (32 I)/257,
69/269 + (260 I)/269, 115/277 + (252 I)/277, 231/281 + (160 I)/281,
285/293 + (68 I)/293, 25/313 + (312 I)/313, 75/317 + (308 I)/317,
175/337 + (288 I)/337, 299/349 + (180 I)/349, 225/353 + (272 I)/353,
275/373 + (252 I)/373, 189/389 + (340 I)/389, 325/397 + (228 I)/397,
399/401 + (40 I)/401}
可以看到其实部和虚部的平方和为1，例如：(3/5)^2+(4/5)^2。
4、在gs中随意取任意个，例如：s=gs[[2]] gs[[5]] gs[[8]] (1 + I)，结果为：
-(35599/29341) - (21319 I)/29341
可以看到(35599/29341) ^2+( 21319/29341)^2=2，通过这种方法可以得到满足x^2+y^2==2的解的全集ss。
5、但是(however呵呵)，然后呢？如何在这烟波浩淼的全集ss中找到3个解（即二楼提到的k1、k2和k3），使得其平方和等于3呢？

zhouguang

另一方面，我们可以看到这个例子：(7/37)^2 + (43/37)^2 + (47/37)^2 == 3，
但是，7/37和43/37不对应圆上的有理点，只有47/37对应圆上有理点。（(47/37)^2 + (23/37)^2 ==2 ）

kastin

类似地，可求出方程 `x^2+y^2+z^2=3` 的有理解为$$\begin{cases}\D x=1-\frac{2a(a+b+c)}{a^2+b^2+c^2}\\
\D y=1-\frac{2b(a+b+c)}{a^2+b^2+c^2}\\
\D z=1-\frac{2c(a+b+c)}{a^2+b^2+c^2}\end{cases}\tag{2}$$其中 `a,b,c \in \ZZ` 且 `a\neq b \neq c \neq 0`.

现将(1)中 `k` 用 `p/q` 替换(`p,q\in \ZZ`)，有$$x=\frac{p^2-2pq-q^2}{p^2+q^2},y=-\frac{p^2+2pq-q^2}{p^2+q^2}\tag{3}$$
对比(2)和(3)可知，(2)的解集是(3)中 `y` 的超集，因此不难理解4楼的疑问了。

zhouguang

kastin 发表于 2016-5-13 12:18
类似地，可求出方程 `x^2+y^2+z^2=3` 的有理解为$$\begin{cases}\D x=1-\frac{2a(a+b+c)}{a^2+b^2+c^2}\\
...

可否列举出一组满足1楼问题的解的具体数值呢？

hujunhua

可以编一个准三阶平方幻方，这个是郭老板所擅长的。
A11，A12，A13
A21，A22，A23
A31，A32，A33
只要求各行各列的平方和相等。楼主的问题，不过是A31=A32=A33之特例。

kastin

zhouguang 发表于 2016-5-13 12:46
可否列举出一组满足1楼问题的解的具体数值呢？

按照(2)生成三个有理数，化简成为最简真分数，若这三个真分数都满足 分母平方的2倍减去分子的平方之后仍是一个完全平方数，那么这三个有理数就是满足条件的纵坐标。

mathe

题目可以归结为求整数$x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3,z$使得$x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2=x_3^2+y_3^2=2z^2,x_1^2+x_2^2+x_3^2=y_1^2+y_2^2+y_3^2=3z^2$
对于其中方程$x_t^2+y_t^2=2z^2$,我们可以写成$(x_t-z)(x_t+z)=(z-y_t)(z+y_t)$
于是可以设$x_t-z=a_tb_t,x_t+z=c_td_t,z-y_t=a_tc_t,z+y_t=b_td_t$
得出约束$2z=c_td_t-a_tb_t=a_tc_t+b_td_t$
于是向量$(a_t,d_t)$和$(c_t,b_t)$的内积和向量积相等，说明两向量夹角45°。
于是可以写成$[(a_t),(d_t)]=h[(1,-1),(1,1)][(c_t),(b_t)]$
代回去就可以得出方程$x_t^2+y_t^2=2z^2$的参数解
应该形如$2z=h(b_t^2+c_t^2), 2x_t=h(c_t^2-b_t^2+2b_tc_t),2y_t=h(b_t^2-c_t^2+2b_tc_t)$
而最后约束方程$y_1^2+y_2^2+y_3^2=3z^2$就变成$\sum_{t=1}^3b_tc_t(b_t^2-c_t^2)=0$
也就是我们需要找出整数${2z}/h$的表示为两个平方数之和的三种不同形式${2z}/h=b_t^2+c_t^2$,然后满足约束条件$\sum_{t=1}^3b_tc_t(b_t^2-c_t^2)=0$
如果另外一方面，我们对于找到的满足条件的数${2z}/h,(b_t,c_t)$,由于$2b_tc_t, b_t^2-c_t^2,{2z}/h=b_t^2+c_t^2$是一组勾股数。
而其中$b_tc_t(b_t^2-c_t^2)$正好代表对应直角三角形的面积，
所以问题等价于找三个斜边长相等的整数边直角三角形，要求其中一个面积是另外两个之和（或者说其中一个的斜边上的高是另外两个斜边上的高之和）。
或者说要求在单位圆上找三个有理点，其中一个纵坐标是另外两个纵坐标之和（但是要排除纵坐标为0的点的平凡情况）

mathe

对于表达式${2z}/h=b_t^2+c_t^2$,要求${2z}/h$的所有奇数次素因子都是$4k+1$形，也就是3楼中的类似方法。
而${2z}/h$的素因子数目越多，可以表示为两个平方数之和的形式也越多，所以我们可以选择它为很多形如4k+1形素数的乘积，这样就可以得出很多$(b_t,c_t)$
对于每对计算出$b_tc_t(b_t^2-c_t^2),b_t>c_t$,然后看其中是否有两数之和等于第三数，如果存在，就找到一组解.
不过问题是我们不确定是否解存在。如果解不存在，那么怎么设计算法都找不出。