传令兵轨迹

倪举鹏

速度恒定的传令兵在直径两公里,匀速前进的圆队伍尾，绕队伍跑一周回到队伍尾。队伍刚好走了两公里。求传令兵走的路径……
设传令兵开始位置（0,0）   圆队伍开始方程x^2+(y-1)^2=1

倪举鹏

队伍向Y正方向匀速运动

aimisiyou

可以将圆形队伍圆心作为作为参照物，那么传令兵以角速度\(w\)做圆周运动（假设逆时针运动）。运行一周的时间为\(T=\frac{2\pi}{w}\),则圆心的速度为\(v=\frac{2r}{T}=\frac{wr}{\pi}\).所以t时刻，圆心坐标为（0，vt+r）,传令兵相对于圆心的极坐标为\(（r,wt-0.5\pi）\),可以得出传令兵的路径\(（y-1-\frac{arc sinx}{\pi}）^2+x^2=1\)

aimisiyou

aimisiyou 发表于 2016-5-26 22:17
可以将圆形队伍圆心作为作为参照物，那么传令兵以角速度\(w\)做圆周运动（假设逆时针运动）。运行一周的时 ...

那看来角速度\(w\)不是匀速的了。可以通过建立微积分方程来解答。

kastin

设传令兵相对于队伍的角速度为 `\omega`，圆半径为 `r`，队伍行进速度为 `v`。
当传令兵位于队伍某个位置时，其与圆心连线的转角为 `\varphi`（约定逆时针为正），那么相对速度为 `wr`，牵连速度为 `v`，根据余弦定理可知，传令兵绝对速度大小的平方是 $$v_\mathrm{a}^2=v^2+(wr)^2+2vwr\sin \varphi =\mathrm{const}\tag{1}$$另一个条件是，传令兵回到队尾时队伍行进 `2r`距离，得到时间关系$$T=\int_0^{2\pi}\frac{d\varphi}{w}=\frac{2r}{v}\tag{2}$$由(1)解出$$w_{1,2}=-\frac{v}{r}\left(\sin \varphi \pm \sqrt{\frac{v_\mathrm{a}^2}{v^2}-\cos^2\varphi}\right)\tag{*}$$显然 `v_a>v`，否则无法军令无法传遍队伍。取逆时针方向行走路线(`w>0`)，代入(2)得到$$E(\frac{1}{1-q^2})=\frac{1}{2}\sqrt{q^2-1}\tag{3}$$其中 `E(m)=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-m\sin^2 \theta} \dif \theta` 为第二类完全椭圆积分，`q=v_\mathrm{a}/v>1`.

由(3)可数值地求出`q=v_\mathrm{a}/v \approx 3.36807`，从而由(*)可得 $$w=\frac{\dif \varphi}{\dif t}=-\frac{v}{r}\left(\sin \varphi  - \sqrt{11.3439-\cos^2\varphi}\right),\;\varphi(0)=0\tag{4}$$
令传令兵坐标为$$\begin{cases}x=r\sin\varphi\\
y=1+vt-r\cos \varphi\end{cases}\tag{5}$$解微分方程初值问题(4)可得一个潜在的关系（但无法显式表达出来） `\varphi=f(t)`，代入(5)消去 `t` 得到轨迹方程（当然也是一个隐式关系，无法表达）。

aimisiyou

想起以前见过的类似题目，甲乙丙三人位于边长为L的等边三角形三顶点位置处，从时刻0开始三人按逆时针方向均以速度V朝向一侧人走去（意味着速度不变，方向时刻在变），求最后三人汇聚与一点时所用时间和每人走过的路程。

kastin

解方程代码

1. FindRoot[EllipticE[1/(1 - q2)] - Sqrt[q2 - 1]/2, {q2, 9}]

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轨迹代码

1. track[v0_, r0_] :=
   
2. With[{v = v0, r = r0, T = 2 r0/v0},
   
3.   sol = NDSolve[{phi'[
   
4.        t] == -v/r (Sin[phi[t]] - Sqrt[11.3439 - Cos[phi[t]]^2]),
   
5.      phi[0] == 0}, phi[t], {t, 0, 2 T}];
   
6.   ParametricPlot[{Sin[phi[t]], 1 + 3 t - Cos[phi[t]]} /. sol, {t, 0,
   
7.     2 T}, PlotLabel -> Style[Defer["v" == v ], Red, 12]]]
   
8. track[3,1]

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