高精度反三角函数的实现

落叶

经过了几天艰难的查资料，对高精反三角函数实现并运行成功，分亨一下，
主要资料参考：http://blog.163.com/shikang999@1 ... 962012426103454943/
因为加入了我的改进，和我自已的方法，所以我在原创中发布：
这里反三角函数的根本实现方法还是泰勒展开式，但它不能单独采用，必须使自变量X趋进这个函数曲线的平滑度最高的点，这个点的收敛速度最快，
反正切函数arctan(x)的这个点是0，反正弦函数arcsin(x),反余弦函数arccos(x)的最快收敛点也是零，
我看了N遍的反正弦三角函数方面的公式，并没有找到使X缩小的公式，不过世慷（上述参考资料的发布者）找到了一个方法：
通过这几个公式实现反三角函数:
根本公式为反正切公式：Arctan(x)=Arctan(y)+Arctan((x-y)/(1+x*y))
其它公式，Arccot(a)=Arctan(1/a)，arcsin(x)=Arctan(x/(1-x^2)^0.5)，arccos(x)=π-Arctan((1-x^2)^0.5/(-x))    （x<0），
arccos(x)=Arctan((1-x^2)^0.5/x     （0<x<1）
世慷的具体方法如下：为了方便讨论，把它的源语句复制过来：
Arctan(x)
{
if （x<0)
{ 返回-Arctan(-x)}
elseIf（x<0.25）
{ 直接使用上面的算法1.1进行求解Arctan(x) ;}
elseIf（x<0.75）
{ 返回Arctan(x)=Arctan(0.5)+Arctan((x-0.5)/(1+x*0.5));}
elseIf（x<1）
{ 返回Arctan(x)=Arctan(0.75)+Arctan((x-0.75)/(1+x*0.75));}
elseIf（x<2）
{ 返回Arctan(x)=Arctan(1.5)+Arctan((x-1.5)/(1+x*1.5));}
else
{ 返回Arctan(x)=Arctan(4)+Arctan((x-4)/(1+x*4));;}
}


它的方法我已运行成功，并基本能满足运算要求，现在说说它的不足，它需预制四个常数，Arctan(4)，Arctan(1.5)，Arctan(0.75)，Arctan(0.5)
但它只能对X进行一次优化，效率较低，另外自变量优化后范围较分散，不利于后面的泰勒运算统一运算级数，会有很大的冗余运算，再就是四个常数取的太随意。
我的方法如下：
取Arctan(1)，Arctan(0.1)，Arctan(0.01)，Arctan(0.001)，Arctan(0.0001)        预算出来
第一个取值1很重要，因为所有大于1的数经过公式分解后都小于1，

                temp = string1                    ‘string1为自变量X
                j = 1                                    ’g01是一个高精数组，g01(1)=1，g01(2)=0.1......g01(5)=0.0001
                Do
                    Do
                        x = myCompare(temp, g01(j))               '大数比较函数，大于返回2,小于返回1，等于返回0
                        If x < 2 Then
                            Exit Do
                        End If
                            temp1 = myMINUS(temp, g01(j))                      ‘大数减，vb6.0不支持运算符重载，只能这样写了
                            temp2 = myMULTIPLY(temp, g01(j))                 ’大数乘
                            temp2 = myADD(g1, temp2)                             ‘大数加
                            temp = myEXCEPT(temp1, temp2)                    ’大数除
                            tempCs = myADD(tempCs, fzqb(j))                    ‘这步是关键，例：假如X经过了1分解1 次，0.1分解5次.......
                    Loop                                                                           'tempCs的值就是Arctan(1)*1+Arctan(0.1)*5.......
                    j = j + 1
                Loop Until j = 6
                temp = myatTan(temp)                                                  '对分解后的x进行泰勒运算
                temp = myADD(temp, tempCs)

上述方法可以不断使X变小，使X小于0.0001，对大于1的值，几个常数的利用率接近百分之百。
现在还有一个问题：开始我的常数是这样的，1，    0.001 ，     0.00001 ，0.0000001, 0.000000001
X分解的速度远慢于泰勒级数的运算速度，所以我取了1,0.1,0.001....，但现在X分解的速度又快于泰勒级数的运算速度，但我已经没有精力再测试了，
有兴趣的朋友可以测测各个常数之间的数距多少合适？两者速度大致相等时效率最高。
因为上面的X优化，现泰勒运算的级数采用（精度除以4），也可获得正确结果，世慷的算法需要运算的级数（精度乘以2-3）
泰勒计算公式为：Arctan(x)=x-x^3/3+x^5/5+……+(-1)^(n+1)*x^(2n+1)/(2n+1)
修改为：Arctan(x)=x-(x*x^2（Gb/3-x^2（Gb/5-x^2(Gb/7-……)))/Gb  (-1)^(n+1)*x^(2n+1)/(2n+1)
Gb为1  3   5   7  .......的公倍数
经过这个公式优化后，万位精度运算大概获得4-5秒的加速
现在我的程序的万位精度运算耗时26秒左右，
但BTCAL疯狂计算器只需要2-3秒，太打击我了，也不知这个函数是他自已写的，还是调用的大数库？不过他也有BUG，在万位Arctan（1.1）运算时，用时高达6分50秒，接近1的值都出现运算困难问题。
我的程序所有值都慢，都是一个速度，26秒左右。
我就说到这里，欢迎网友们批评，指正。

补充内容 (2016-6-7 11:41):
前面所说（泰勒运算的级数）并不是真实的级数，为了编程方便，我把运算最后一项的除数作为级数，真实运算级数是我上述说法的一半左右。

liangbch

反三角函数可以以三角函数为基础，使用牛顿迭代法求解。

落叶

只是不知牛顿迭代式是怎么样的？

liangbch

如果知道反三角函数的导数，牛顿迭代公式不难求出来。

zeroieme

用 算术-几何平均求复数对数吧