求方程y^2=x^3+7的有理解

kastin

这个需要一点代数数论知识，不过我是不专长的了，可以让@mathe和@hujunhua大神来点拨下。
先考虑有没有整数解，变形得 $$(y+\sqrt{7})(y-\sqrt{7})=x^3\tag{1}$$因为在 `\QQ(\sqrt{7})` 中代数整数分解是唯一，其单位数有无穷多个`\pm(8\pm3\sqrt{7})^n\;(n=\pm1,\pm2,\pm3,\cdots)`，不难证明 `(y+\sqrt{7},y-\sqrt{7})=1` 故解可表示为$$y+\sqrt{7}=(8+3\sqrt{7})^n(a+b\sqrt{7})^3,\;x=a^2-7b^2\tag{2}$$其中 `a,b` 为有理整数。
这是因为 `(1)` 等价于  `N(y+\sqrt{7})=N^3(x)`，`N(\cdot)` 表示所谓的范数，也即模长。

若 `n=0\pmod{3}`，`(2)` 中可合并乘入至右边3次方中，不失一般性，可改写为$$y+\sqrt{7}=(a+b\sqrt{7})^3,\;x=a^2-7b^2$$因为 `y` 是有理整数，故要求 `3a^2b+7b^3=1` 显然不可能。

若 `n=\pm1\pmod{3}`，不失一般性，`(2)` 可改写为$$y+\sqrt{7}=(8\pm 3\sqrt{7})(a+b\sqrt{7})^3,\;x=a^2-7b^2$$从而有$$3(a^3+21ab^2)+8(3a^2b+7b^3)=1\tag{3}$$或$$-3(a^3+21ab^2)+8(3a^2b+7b^3)=1\tag{4}$$对 `(3)` 取模3得 `56b^3=1\pmod{3}`，即 `b=-1\pmod{3}`, 故 `b^3=-1\pmod{9}`. 对 `(3)` 再取模9，得$$3a^3+3a^2-2=1\pmod{9}$$即$$a^3+a^2=1\pmod{3}$$显然不可能（因为`a=0,\pm1\pmod{3}`都不是解）。
同法可证明 `(4)` 也不可能。

因此方程 `y^2=x^3+7` 没有整数解。

aimisiyou

怎么用初等方法证明y不可能是6的倍数？

aimisiyou

可以用初等方法证明没有整数解。

mathe

计算机软件表示没有有理解:
E=ellinit([0,7])
ellanalyticrank(E)
输出
[0,3.0414...]
其中第一个0代表这条椭圆曲线的解析阶
由文章 http://www.ams.org/journals/bull ... 0979-02-00952-7.pdf定理5.8
知道解析阶为0那么这个椭圆在有理数上的群的阶也是0。
又因为elltors(E)输出[1, [], [] ]代表torsion群只有无穷远点。
所以这条椭圆曲线没有有理点

好地方

mathe 发表于 2016-7-4 13:33
计算机软件表示没有有理解:
E=ellinit([0,7])
ellanalyticrank(E)

谢谢！存下来慢慢看。

lsr314

mathe 发表于 2016-7-4 13:33
计算机软件表示没有有理解:
E=ellinit([0,7])
ellanalyticrank(E)

这是哪个软件？

manthanein

http://www.math.uconn.edu/~kconr ... thy/mordelleqn1.pdf

mathematica

manthanein 发表于 2017-1-25 14:28
http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/mordelleqn1.pdf

其实楼主问的是是否存在有理解，而不是整数解，我看大家都在求解整数解！