素数的百分比问题

素数粉

10^23内有约1.9253%的素数，如要达到1%以下比例应该是 10^50以内能达到吗？

liangbch

你不会不知道素数定理吧？ 我们定义n以内素数的个数为x, 则素数的密度 $pi(n)= x/n$,当n很大的时候，精确的求$pi(n )$很难， 但是有有一个很好的逼近公式 $n->oo, \lim pi(n)->\frac{n}{log(n)}$, 更详细的信息见http://baike.baidu.com/view/815128.htm by the way, 我的这个素数定理的公式不是很地道，谁能给出更标准的公式？

无心人

足够了 太复杂的计算起来麻烦 2.6e+43 差不多逼近0.01

tprime

发到你邮箱了, 站内的消息尝试几次发给你都失败了 莫非被管理员bs?

gxqcn: 非也。可能是发信者或收信者信箱已满需要清空；又或是添错了收信人ID号

我也忘了从哪里抄来下面两个估算公式 n (log n + log log n - 1.0073) < p(n) < n (log n + log log n - 0.9385) (x/log x)(1 + 0.992/log x) < pi(x) <(x/log x)(1 + 1.2762/log x) (居然回复错了贴子主题)

xiugakei

p（x）约=x/（lnx-1） 所以要要达到1%以下比例，就是lnx-1>100 所以x>e的101次方就可以了。

仙剑魔

貌似是 ∫(1/ln(x))dx 不断用分步积分能得到近似值......

gxqcn

原帖由 xiugakei 于 2008-12-22 12:05 发表 p（x）约=x/（lnx-1） 所以要要达到1%以下比例，就是lnx-1>100 所以x>e的101次方就可以了。

这个似乎毫无根据，结论也是错的。 用素数定理即可，见 2#

xiugakei

晕,素数定理不止一个,p（x）约=x/（lnx-1）和p（x）约=x/lnx是其中两个最常见的,还有p（x）约=x/（lnx-1.08..）的,等等 结论是正确的

gxqcn

估计楼上说的仅是在局部小范围内依统计规律而进行修正过的“素数定理”，可能无法推广到任意大（足够大）的范围。