等腰三角形的一个不等式

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设 $\triangle ABC$ 中 $AB=AC=x\ge 1, BC=\sqrt{2}, \theta = \angle A$

试证 $x\theta <\frac{\pi}{2} (x>1).$

证：由余弦定理, $x\theta = x\arccos\frac{x^2-1}{x^2}:=f(x).$ 于是

$f'(x) = \arccos\frac{x^2-1}{x^2}-\frac{2}{\sqrt{2x^2-1}},\quad f''(x)=\frac{2}{x(2x^2-1)^{3/2}} >0$

即 $f'(x)$ 严格增 $(x > \frac{1}{\sqrt{2}})$. 但 $f'(1) = \frac{\pi}{2}-2 < 0$ 且

$\lim_{x\to\infty}f'(x) = 0,$ 故 $f'(x) < 0 (x >\frac{1}{\sqrt{2}})$. 可见

$x\theta -\frac{\pi}{2} = f(x) -f(1) = f'(\xi)(x-1) < 0 (1<\xi < x)$ (中值定理).

特别地, 对 $x = 1.00000000000000000000000000000000000000000001$ 有

$|AB|\frac{\pi}{180}\angle ABC <\frac{\pi}{2}.$ 其中 $\angle ABC$ 是 $\triangle ABC$ 顶角的角度值。

elim

设直角三角形$\triangle ABC$的底边长$a$, 斜边$c$, $a = c\sin A = c\sin\theta$

则 $\frac{d}{d\theta}\frac{\theta}{\sin\theta} = \frac{(\tan\theta -\theta)\cos\theta}{\sin^2\theta} > 0,$
$f(\theta) = \frac{c\sqrt{2}}{a}\theta = \frac{\sqrt{2}\theta}{\sin\theta}$ 严格增，$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$

所以 $\frac{c\sqrt{2}}{a}\theta > \frac{\pi}{2} (\frac{c}{a} > \sqrt{2}),$  $\frac{c\sqrt{2}}{a}\theta < \frac{\pi}{2} (\frac{c}{a} < \sqrt{2}).$

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如图，不等式的几何意义就是：粗弧线比细弧线长，外弧线比内弧线长，松皮带比紧皮带长！

这虽不是公理，也是常识了，不用专门提出来，并且这么劳神去证明吧。

我们一般是通过积分式来理解的：`L=\int\sqrt{y'^2+1}dx`. 因为`y'^2`总是上面的外弧大于下面的内弧。