不动点

manthanein

若对于\(x_0\)有 \(f(x_0)=x_0\)，则称\(x=x_0\)是\(f(x)\)的不动点。
构造：
\(f_1(x)=f(x)\)
\(f_n(x)=f[f_{n-1}(x)]\)  \((n \in N^{+}, n \gt 1)\)
能否找出\(x_0\)和\(f(x)\)，使得上面从\(f_1(x)\)到\(f_n(x)\)都以\(x=x_0\)为不动点？而且，所有式子的不动点都一样？
我试了一下，好像所有的一次函数（斜率不为1）都满足这个要求。还有其他类型的吗？

manthanein

补充：好像很多二次函数也满足要求。

manthanein

是不是多项式函数都这样？（只要每个式子都有不动点）

mathe

你要表达的是什么呢？如果$x_0$是$f(x)$的不动点，自然也是$f_n(x)$的不动点，这是显然的。只是$f_n(x)$可能存在不动点不是$f(x)$的不动点

mathe

首先，如果$x_0$是$f(x)$的不动点，那么$x_0$也必然是$f_n(x)$的不动点，这个非常容易证明，直接数学归纳法证明即可。
但是反之如果$x_2$是$f_2(x)$的不动点，那么它不一定是$f(x)$的不动点，这种点我们通常称为$f(x)$的二周期点，同样满足$f_n(x_n)=x_n$的点$x_n$称为$f(x)$的$n$周期点。

mathe

比较有意思的是混沌理论（研究分形的数学分支）里面有三周期即混沌的定理，应该就是有三周期点，就有任意周期点。