弹簧上的点运动

倪举鹏

弹簧自重m劲度系数k，原长L。离一头距离x的点记为p(x).
弹簧悬挂，由于自重，会伸长到L+mg/(2k).   现在p(x)点下降到p(y)了，此时离上端y。
现在断开上端，求P(y)点的运动方程。用来验证弹簧最下端是不是有一段时间是静止不动的。
看视频里实际效果在弹簧收缩的过程中，下端是静止的。

kastin

弹簧振子的振动周期只跟质量分布以及劲度系数（微观来说是弹性模量）有关，与重力加速度无关，我们只需要站在一个自由落体的非惯性参考系中观察该下落的弹簧即可。
楼主所给的物理模型不是质点，也不是刚体，而是一个连续分布的弹性体，扰动造成的是纵波。其扰动传播速度是有限的，大小为（以弹簧上端长度为原点，竖直向下为`z`轴正方向）$$v=\sqrt{\frac{\dif T(z)}{\dif \rho(z)}}$$其中 `T(z)` 是初始时刻弹簧内任意点处的张力分布，`\rho(z)` 为质量密度分布。

故而，在顶端断开的一瞬间，这个加速度扰动还不能“瞬时”到达末端（除非是刚体），因此末端是来不及变化的，但只要时间足够长就能传播到。

用数学语言来说，这是一个波动方程，可类比为流体力学中稀疏波的传播过程（管道内多个隔间内有密度逐渐增大的同种气体，同时打开隔板，让气体自由扩散，气体就相当于弹簧，粘性系数相当于劲度系数），具体可参见流体力学中关于激波相关知识。

倪举鹏

先看看这个简化模型：光滑水平面拉长一个质量m的弹簧，两头同时放手。上面某质点怎么运动？明显弹簧两头收缩得最快，中间收缩得最慢

kastin

在弹簧受到自重尚未伸长前，其质量线密度为 `\rho=m/L`，在任意位置`z`处截取长度为 `\dif z` 的微段弹簧，该段弹簧的长度为原弹簧长度的 `\dif z/L` 倍，根据串联公式可知，该微段弹簧劲度系数为`k_m=k/(\dif z/L)=kL/\dif z`

该微段弹簧受到下端一段长度为 `L-z-\dif z` 的弹簧的拉力，大小为 `\rho(L-z-\dif z)g`，还有自重 `\rho g \dif z`均匀拉伸（可等效为末端拉伸），因此
该微段弹簧的伸长量 `\D\dif l=\frac{\rho(L-z-\dif z)g+\rho g\dif z}{k_m}=\frac{m(L-z)g}{kL^2}\dif z`，故弹簧原任意位置`z`处在拉伸变形后静止于新位置 `y` 处，即$$y=z+\int_0^z\frac{m(L-z)g}{kL^2}\dif z=z+\frac{mz}{kL}-\frac{mz^2}{2kL^2}\tag{1}$$弹簧总伸长量为$$\Delta L=\int_0^L\frac{m(L-z)g}{kL^2}\dif z=\frac{mg}{2k}$$
考虑变形后线密度 `\rho'` 分布情况
对于变性前`z`位置处长度为`\dif z` 的微段，变形后拉长为 `\dif z+\dif l`，质量仍是变形前的 `\rho \dif z`，于是$$\rho'=\frac{\rho \dif z}{\dif z+\frac{\rho(L-z)g}{kL}\dif z}=\frac{kmL}{kL^2+m(L-z)g}$$于是原任意位置`z`处在变形后的内力为$$F=\int_z^L\rho'g\dif z=kL\ln \frac{kL^2+mg(L-z)}{kL^2}$$需要注意的是，上述都是用变形前的位置作为自变量表示的，只需要利用 `(1)` 就可以转换为 `y` 作为自变量的表达形式。

@倪举鹏
上面给出了内力和质量线密度，加速度不就出来了吗？当上部断开瞬间，内力 `F` 仍来不及改变。由牛顿第二定律，任意位置`y`处的加速度$$a=g+\frac{\dif F}{\rho'\dif y}=g+\frac{1}{\rho'}\frac{\dif F}{\dif z}\frac{\dif z}{\dif y}$$

倪举鹏

我的方法很奇葩：将弹簧看成皮筋，假想皮筋总体积不变，设本来截面积是1.拉长后截面积函数P(y)决定了这处的拉力。拉力F=Lk(1/P(y)-1).我一直是这么研究弹簧的。所以我可以求出质量分布函数与拉力分布函数。就是不知道y点处质点加速度怎么算

wayne

倪举鹏 发表于 2016-8-4 20:05
我的方法很奇葩：将弹簧看成皮筋，假想皮筋总体积不变，设本来截面积是1.拉长后截面积函数P(y)决定了这处的 ...

你的思维总是停留在高中阶段。 其实力学是很大的一个领域，难道你没发现吗，kastin其实已经在用分析力学，材料力学的相关手段给你解答问题。

倪举鹏

停留在自己能够想通的方法上面

倪举鹏

求出这个加速度与下落时间的关系式子。就可以精确知道各点运动方程了。搞不明白的是，各处都有拉力，会影响某一处的加速度

kastin

4楼更正：
`(1)` 最右边两项掉了重力加速度`g`.
求出 $$z=L+\frac{kL^2}{mg}-\frac{L}{mg}\sqrt{m^2g^2+k^2L^2+2mgk(L-y)}\tag{2}$$另外一根不符合物理意义，舍去。
根据 `(2)` 知`y`和`z`是非线性关系，所以变形后内力应该是 `F=\D\int_y^{L+\frac{mg}{2k}}\rho'g\dif y=\int_z^L\rho' g\frac{\partial y}{\partial z}\dif z=\frac{mg}{L}(L-z)=\sqrt{m^2g^2+k^2L^2+2mgk(L-y)}-kL \tag{3}`
那个加速度公式中的 `F` 应该是对应时刻的内力分布，而不是上面的 `F`.

倪举鹏

再描述一下我想要的答案：不管上面问题了。看看这个简单的，一弹簧在光滑水平面，质量m劲度系数k，长L。一头固定，拉另外一头到长度变成2L，松手，弹簧开始向另外一头收缩。求拉长后离固定端y的质点的运动方程