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[分享] 介绍一个任意四边形的面积公式,谁会证明?

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发表于 2016-8-23 19:15:21 | 显示全部楼层 |阅读模式

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下面这个是计算任意四边形面积的公式,很有趣。是莫斯科某个数学再教育机构的某教授提出的。
据说,如果使用机器证明的方法来证明这个公式,是非常困难的,所以这道题称为机器证明的 “俄罗斯杀手”。

任意四边形的面积公式.png


补充内容 (2016-8-26 09:30):
如果四边形有内切圆,则公式中的第二项为零。如果四边形有外接圆,公式可简化为 4 楼的形式。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2016-8-23 19:17:57 | 显示全部楼层
经验证,这个公式完全正确,不用怀疑。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2016-8-24 11:44:42 | 显示全部楼层
这个公式也适用于任意的凹四边形面积计算。
此公式也适用于凹任意四边形.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2016-8-24 11:46:59 | 显示全部楼层
由这个公式,可以导出:圆内接四边形的面积公式也可以这样计算:
圆内接四边形的另一个面积公式.png
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 楼主| 发表于 2016-8-24 11:49:28 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2016-8-24 11:52 编辑

当四边形的其中一条边的长度趋近于零时,四边形变为三角形,而面积公式的第二项趋于零,公式简化三角形面积公式。此公式可从另一角度证明如下:
三角形面积计算另一公式.png
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发表于 2016-8-24 13:15:20 | 显示全部楼层
TSC999 发表于 2016-8-23 19:17
经验证,这个公式完全正确,不用怀疑。


既然说机器证明基本不可能,那你又是如何验证其正确性的?
显然遍历所有可能的的四边形是不实际的,然而若只是检测有限个特例成立,仍无法排除存在反例的可能。

点评

@TSC999,“据说有许多人能用不同方法证明这个公式”能否给出来源或是引用的文献?学术领域里面除非基本常识,任何新的论点都需要证据支撑。天下高人多并不否认,但“可能”与“一定能”是两码事,别搞错了。  发表于 2016-8-27 11:20
此公式是俄罗斯数学家提出来的。如果是本人提出的,你可以大大的怀疑。另外,据说有许多人能用不同方法证明这个公式,包括机器证明。天下高人有许多呀。  发表于 2016-8-26 09:35
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2016-8-24 13:33:30 | 显示全部楼层
对于任意四边形,有面积公式:\[ S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2{\phi}} \]其中,\(p=\dfrac{1}{2}(a+b+c+d), \\ \phi=\dfrac{1}{2}(\angle A + \angle C)=\dfrac{1}{2}(\angle B + \angle D) \)
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发表于 2019-7-25 12:08:27 | 显示全部楼层
[讨论] 一个复杂的四边形面积公式
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=8623
另见:刘培杰数学工作室出版的《数学奥林匹克与数学文化》
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发表于 2019-8-1 15:31:58 | 显示全部楼层
这个问题很有意思,我证明不了
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