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[讨论] 相乘后再求和

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发表于 2016-9-16 18:49:18 | 显示全部楼层 |阅读模式

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给定两个项数相同(均为\(n\))的等差数列,
第一个等差数列的首项为\(a\),公差为\(d\)
第二个等差数列的首项为\(A\),公差为\(D\)
将两个等差数列的对应项相乘后再相加,和为\(T\)
能否用简便的方法求出T?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2016-9-17 11:51:19 | 显示全部楼层
通项公式相乘展开就是了。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2016-9-17 12:06:16 | 显示全部楼层
因为 `a_k=a+(k-1)d,\;A_k=A+(k-1)D`,所以$$\begin{align*}T&=\sum_{k=1}^na_kA_k\\
&=naA+(Ad+aD)\sum_{k=1}^n(k-1)+Dd\sum_{k=1}^n(k-1)^2\\
&=naA+(Ad+aD)\frac{n(n-1)}{2}+Dd\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}\end{align*}$$初中知识还发在难题征解版块,楼主肯定连尝试都没尝试过(否则,我可不愿说楼主还不如初中生)。
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2016-9-17 22:49:10 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2016-9-17 12:06
因为 `a_k=a+(k-1)d,\;A_k=A+(k-1)D`,所以$$\begin{align*}T&=\sum_{k=1}^na_kA_k\\
&=naA+(Ad+aD)\sum_{ ...

呵呵呵呵,真是太抱歉了。这是我整理旧物看到没写完的一个问题,确实没尝试过,劳您大驾了。
蓦然想到这个帖子(http://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=1010),当然我不是想批评任何人,请版主给我的帖子移一下位置吧。
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