又一道齐次不等式

kastin

在别的论坛看到的，似乎有些难
`x,y,z` 为正实数，证明$$\sum_{cyc}x^2\sum_{cyc}\frac{x^2}{(x^2+yz)^2}\geqslant \frac{9}{4}$$

xiaoshuchong

不妨设$0< x\le y\le z$，令$a,b=\frac{y}{x}-1,\frac{z}{x}-1$, 即$a,b\ge0$

于是，我们可以得到

\[\begin{eqnarray*}

&&\sum_{cyc}x^{2}\sum_{cyc}\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+yz\right)}-\frac{9}{4}\\&\rightarrow&A+32a^{2}-32ab+32b^{2}+4a^{8}b^{4}-a^{6}b^{6}+4a^{4}b^{8}\\&=&A+2\left(4a-2b\right)^{2}+24b^{2}+\left(2a^{4}b^{2}-\frac{1}{2}a^{2}b^{4}\right)^{2}+\frac{7}{4}a^{4}b^{8}\\&\ge&0\\A&=&a^{8}\left(16b^{3}+19b^{2}+6b+3\right)+a^{7}\left(22b^{4}+96b^{3}+124b^{2}+38b+20\right)\\&&+a^{6}\left(2b^{5}+79b^{4}+294b^{3}+371b^{2}+98b+56\right)+\\&&a^{5}\left(2b^{6}+22b^{5}+198b^{4}+584b^{3}+676b^{2}+140b+88\right)+\\&&a^{4}\left(22b^{7}+79b^{6}+198b^{5}+487b^{4}+904b^{3}+867b^{2}+132b+88\right)+\\&&a^{3}\left(16b^{8}+96b^{7}+294b^{6}+584b^{5}+904b^{4}+1122b^{3}+856b^{2}+112b+64\right)+\\&&a^{2}\left(19b^{8}+124b^{7}+371b^{6}+676b^{5}+867b^{4}+856b^{3}+552b^{2}+64b\right)+\\&&a\left(6b^{8}+38b^{7}+98b^{6}+140b^{5}+132b^{4}+112b^{3}+64b^{2}\right)+\\&&3b^{8}+20b^{7}+56b^{6}+88b^{5}+88b^{4}+64b^{3}

\end{eqnarray*}\]

表达式中仅有两项为负，单独拎出来后进行配方即可。