关于p=4k+1数的一个有趣结论，怎么证明

wsc810

`p`是素数，`p=a^2+b^2`,且`a`是奇数，`b`是偶数，那么
1） `a`必是`p`的平方剩余
2）`p=8k+1`时，`b`是`p`的平方剩余；`p=8k+5`时，`b`是`p`的平方非剩余。

manthanein

试一下：
第1)问
`\D\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{p}{a}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b^2}{a}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)=\left(-1\right)^{\frac{(a-1)(p-1)}{4}} =1`

所以`a`恒是`p`的二次剩余。

manthanein

第2）问   令\(\D b=2^tq\), `q`是奇数。

`\D\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{a^2}{q}\right)=\left(\frac{q}{p}\right)=\left(-1\right)^\frac{(p-1)(q-1)}4=1`

当`p=8k+1`时，`\D t>1,\left(\frac{2}{p}\right)=1`

\(\D\left(\frac{b}{p}\right)=\left(\frac{2^tq}{p}\right)=\left(\frac{2^t}{p}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=\left(\frac{2^t}{p}\right)=1\)

所以`b`是`p`的平方剩余。

manthanein

第2)问继续

当`p=8k+5`时，`\D t=1, \left(\frac{2}{p}\right)=-1`.

`\D\left(\frac{b}{p}\right)=\left(\frac{2q}{p}\right)=\left(\frac{2}{p}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=\left(\frac{2}{p}\right)=-1`

所以`b`是`p`的平方非剩余。

wsc810

对不含$4k+3$素因子的奇合数，如果$a,b$互质, 此命题似乎依然成立
例，$p=37*2017=255^2+98^2=273^2+10^2$

`\text{JacobiSymbol}[98, 37\cdot2017]=\text{JacobiSymbo}l[10, 37\cdot2017]=-1`

hujunhua

对于5#之`p`非素数的情形，4#的过程依然有效，但2#和3#的不行。

mathe

\(\left(\frac{p}{a}\right)=\left(\frac{b^2}{a}\right)=1\),所以\(\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^{\frac{(p-1)(a-1)}{4}}\)
同理\(\left(\frac{b}{p}\right)=(-1)^{\frac{(p-1)(b-1)}{4}}\)
即可

wsc810

manthanein 发表于 2017-2-5 21:52
第2)问继续

当`p=8k+5`时，`\D t=1, \left(\frac{2}{p}\right)=-1`.

$t=2$的情形呢，怎么证

wsc810

hujunhua 发表于 2017-3-2 08:45
对于5#之`p`非素数的情形，4#的过程依然有效，但2#和3#的不行。

$p=37*2017=8*9328+5$

$(\frac{273}{37*2017})=(\frac{255}{ 37*2017})=1$,哪里不行了

$p=41*2017=8*10337+1=184^2+221^2=256^2+131^2$

$(\frac{184}{41*2017})=(\frac{256}{41*2017})=1$

$(\frac{221}{41*2017})=(\frac{131}{41*2017})=1$