一个积分型不等式的证明

Buffalo

\(f(x)\)在\((0,1)\)上有连续的导数，\(f(0)=f(1)=0\)，证明\(\D\int_0^1f(x)^2\dif x\leq\frac{1}{\pi^2}\int_0^1f'(x)^2\dif x\)。
如果用傅立叶级数的方法是很容易的，现在要求不用这个方法证明。

kastin

不知楼主的问题是怎么来的，不过这类问题却在历史上是一个研究得非常多的问题。楼主的问题只是其中非常特殊的一个情况。

比如楼主的问题就是下面问题的一维情形：
在文献 Problem 37. Boll. Un. Mat. Ital. 8, 113 and 164-165 (1929). 88. Paris 1937. ----See pp.8-14. 中提到了有人证明了下面的不等式（作者没给出）$$\int_Tf(x_1,x_2,\cdots,x_n)\dif T\leqslant \frac{1}{n}\left(\frac{D}{\pi}\right)^2\int_T\left[\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\right)^2+\cdots+\left(\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)^2\right]\dif T$$其中 `f` 为有界可测区域 `T` 内的有限连续函数，其偏导数也在 `T` 内为有限连续函数，并且 `f` 在 `T` 的边界上等于零，`D` 表示 `T` 的直径。

A. Weinstein 研究了确定商 `I/H`, `I/C`, `C/H` 的最小值的问题，其中$$\begin{align*}H&=\iint\limits_{T}f(x,y)^2\dif x \dif y\\
C&=\iint\limits_{T}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2\dif x \dif y\\
I&=\iint\limits_{T}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right)^2\dif x \dif y\end{align*}$$他通过计算变分的方法将这个问题归结为求相应偏微分方程特征值的问题。结果太长，就不引了。

1905年，E. Almansi 证明了若 `f(x)` 和 `f'(x)` 在区间 `(a,b)` 上连续，且 `f(a)=f(b)`，`\D\int_a^bf(x)\dif x=0`，那么$$\int_a^bf(x)^2\dif x \leqslant \left(\frac{b-a}{2\pi}\right)^2\int_a^b f'(x)^2\dif x$$E. E. Levi 在1911年减弱了这些条件，1914年L. Tonelli 再次减弱了这些条件。

E. Picard的在Traite d'analyse (vol 3，Paris, 1896, pp. 100-128)中考虑了带有正的权函数的类似问题：求 `f` 使得$$\frac{\D\int_a^bp(x)f(x)^2\dif x}{\D\int_a^bf'(x)^2\dif x}$$最大，这里 `f` 和 `f'` 是连续函数，且 `f(a)=f(b)`，`p` 是 `(a,b)` 上的正的连续函数。

H. A. Schwarz在1885年发表的论文中研究了上述不等式的二维情形，即确定商$$\frac{\D\iint\limits_T p(x,y)f(x,y)^2\dif x\dif y}{\D\iint\limits_T\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2\dif x\dif y}$$的最大值。
H. Poincare证明了上面的Schwarz商当 `p(x,y)\equiv 1` 时小于 `7l^2/24`，这里的 `T` 是一凸域，`f` 是使得 `\D\iint\limits_T f(x,y)\dif x\dif y=0` 的函数，`l` 为该凸域的直径（即最大弦长）。同时H. Poincare还讨论了三维情形，并给出了商的估计。

还有更多的变形和不同条件下的研究，参见Mitrinovic的的经典著作，Analytic Inequalities的2.23节。

kastin

上面提到 E. Almans i所证明的本质上就是Wirtinger不等式的变形
设 `f(x)` 是以 `2\pi` 为周期的实函数，`f'(x)\in L^2`，那么若 `\D\int_0^{2\pi} f(x)\dif x=0`，则$$\int_0^{2\pi}f(x)^2\dif x\leqslant \int_0^{2\pi}f'(x)^2\dif x$$等号成立当且仅当 `f(x)=A\cos x+B\sin x`，这里 `A,\,B` 为常数。

形式与此类似且更加广义的还有Friedrichs-Poincare不等式, 或者Friedrichs不等式和Poincare不等式。后两个是偏微分方程领域中比较有名的不等式。这些不等式大部分来自于（偏）微分方程边值问题的研究。因此证明过程也可以转换到等价的微分方程中去。更一般地，还可以从函数空间的角度来看待（上升到泛函极值的角度来考察）。

比如我们考虑含有常参数 `\lambda` 的常微分方程边值问题$$\begin{align*}&y''+\lambda^2 y=0\\
\mathrm{s.t.}\quad &y(0)=y(1)=0\end{align*}\tag{*}$$将微分方程两端同时乘以 `y`，并在 `[0,1]` 上积分，有$$\int_0^1y''y\dif x+\int_0^1\lambda^2y^2\dif x=0$$左边第一项使用分部积分得到$$(yy')|_0^1+\lambda^2\int_0^1y^2\dif x=\int_0^1(y')^2\dif x$$考虑到边界条件 `y(1)=y(0)=0`，于是有 $$\lambda^2=\frac{\D\int_0^1(y')^2\dif x}{\D\int_0^1y^2\dif x}\tag{**}$$可见，楼主的问题可等价为证明上述边值问题存在非零解 `y=f(x)\in C^2` 时，最小特征值 `\Lambda=\min\lambda^2=\pi^2`。
显然，特征值 `\lambda^2=0` 时，微分方程对应有平凡解 `y=f(x)=0`，此时楼主不等式等号成立。
当 `\lambda = k\pi\;(k=\pm1,\pm2,\cdots)` 时有特征解 `y=f(x)=c \sin \lambda x`.

于是非零解对应的最小特征值就是 `k=\pm1` 时，即 `\lambda^2\geqslant \pi^2`. 从而楼主的问题得证。

事实上，上述方法并不特殊，本质上还是运用了广义傅里叶级数理论（一个函数可以投影到其特征函数空间）。如果就此上升讨论抽象的泛函理论，来看待问题就太繁了点。不如直接具体化来看(*)或(**)。(*)本身可以看成是泛函里面的欧拉-拉格朗日方程，反推上去就相当于含参的泛函极值问题$$\inf_{f(x)\in F_d} J[\varPhi_{\lambda}(x)]=\int_0^1\frac{f'(x)^2-\lambda^2f(x)^2}{2}\dif x$$其中 `F_d=\{f\in C^1(0,1)|f(0)=f(1)\}`.
当 `|\lambda|>\pi` 时，`\inf J=-\infty`；当 `|\lambda|=\pi` 时，`\inf J=0`.

kastin

Wirtinger不等式以及楼主的不等式还存在其离散的表达形式，也就是把积分变为求和，微分变差分。
网上找到一篇论文 DISCRETE INEQUALITIES OF WIRTINGER’S TYPE 详述其证明过程，特附于下
inv14.pdf (212.03 KB, 下载次数: 8)

2016-10-8 17:31 上传

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Buffalo

kastin 发表于 2016-10-8 17:32
Wirtinger不等式以及楼主的不等式还存在其离散的表达形式，也就是把积分变为求和，微分变差分。
网上找到 ...

kastin仁兄不辞辛劳发了这么好几大篇，感激。
上面提到的这些命题都比较强，证明方法也比较高等，我的目标没这么大，就是希望用不那么高等的方法，直接得到原始的那个不等式，结论稍弱一点也可以，比如$\pi^2$变成8，6之类的。

kastin

Buffalo 发表于 2016-10-9 11:37
kastin仁兄不辞辛劳发了这么好几大篇，感激。
上面提到的这些命题都比较强，证明方法也比较高等，我的目 ...

根据魏尔斯特拉斯(Weierstrass第二逼近定理，闭区间上周期为2π的连续函数可用三角函数级数一致逼近（这就是傅里叶级数的本质了）。可见楼主用的傅里叶级数方法，本质上也算是“高等”的，因为它背后的原理还是函数逼近论的内容。

282842712474

最后转化为拉格朗日函数的变分问题，而不是分式形式的泛函变分问题，这一思路比较秒，也很值得学习。