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楼主: wangfeizaaq

[原创] 《从根式解到伽罗华理论》

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发表于 2017-2-24 14:55:10 | 显示全部楼层
我是个准备自学伽罗华理论的人,在知乎搜索教材时看到了你的书,感觉我应该可以看,所以。。我可以向您买一本吗?既然没有出版...您可以把内容打印出来然后钉起来寄给我吗?或者别的什么办法,请放心。。我并不会盗版您的书,我只是觉得这本书用来学或许不错
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-2-26 12:37:01 | 显示全部楼层
我是个准备自学伽罗华理论的人,在知乎搜索教材时看到了你的书,感觉我应该可以看,所以。。我可以向您买一本吗?既然没有出版...您可以把内容打印出来然后钉起来寄给我吗?或者别的什么办法,请放心。。我并不会盗版您的书,我只是觉得这本书用来学或许不错
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 楼主| 发表于 2017-2-26 21:33:08 | 显示全部楼层
      书友,你好!打印恐怕费用较高,毕竟300多页!直接发电子稿,“恕难从命”,还望见谅。毕竟这个是我自己花了好几年学习“伽罗华理论”的工作总结,虽然没有提出什么新的理论!但对“方程式根式解的伽罗华理论”叙述,自认为在诸多方面的处理还是比较到位的,部分内容的提法,系首次披露!
      书友若真兴趣,我的书《从根式解到伽罗华理论》应该马上就出版发行了(哈尔滨工业大学出版社)。《从根式解到伽罗华理论》系书《代数方程的根式解》 的精简版!
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 楼主| 发表于 2017-2-26 21:38:47 | 显示全部楼层
     在此将自己学习“伽罗华理论”过程中的一些体会与书友分享:
     《从根式解到伽罗华理论》这本比较简洁的书,笔者仍然感觉有诸多不足!一直以来想整理一个更加完备的册子,无奈种种原因未能实施!去年,开始编辑整理《代数学教程》的《抽象代数基础》卷次。研读了较多的这方面的文献。特别是细心阅读了由哈尔滨工业大学出版社再度出版的迪克森的《代数方程式论》,再次勾勒起这个想法。于是在整理《抽象代数基础》的同时便进行了《代数方程式的根式解》这本书的整理。
      兹将笔者的一些想法或者说编辑这本书的理由陈述如下:
      大家知道,数学的历程中,有些问题的提出和陈述是很初等的,但是它的解决往往是高等的,有些甚至必须借助的新的数学工具。这种问题也恰恰是为很多大众所感兴趣的。代数方程根式解问题以及与之相关的三大尺规作图不可能性问题就是这样的著名例子。
      就“代数方程根式解问题”这个问题而言,抽象代数中的“伽罗华理论”给予了完整的解决。例如,B.L.范德瓦尔登的名著《代数学Ⅰ》中就有关于伽罗华理论的优美的较大篇幅的讲述,就其叙述方式和风格而言可以说是一个数学珍品!
      然而对于初学者而言这些作品是不适宜的!因为抽象代数中的伽罗华理论不再以根式解问题为中心,它是研究代数结构的。“根式解问题”无非是其众多应用中的一个。所以抽象代数中经过一系列抽象理论推导后得到的推论:代数方程式可根式求解的充分必要条件是其伽罗华群可解,是不能令人满意的!
      就这个结论而言,它并不能揭开初学者心中的疑问:为什么五次及以上方程式一般不能有根式解?为什么方程式根式解问题的解决会与群有关?当然彻头彻尾地读一遍抽象代数似乎是可以解开谜底的,可是如前所述抽象代数中的那种脱离“方程式求根”背景式的叙述着实让初学者望而却步。例如,把方程式的根式解叙述成“系数域经根式扩张而得到分裂域的过程”,伽罗华群是分裂域关于系数域的自同构!
      所以又回到了问题的起点。事实上,毫不夸张地说高次(3,4,5次)方程式的求解问题是数学史上最精彩,最扣人心弦的篇章!十六、十七、十八以及十九世纪初年的最伟大的数学家们(菲罗、塔尔塔里亚、卡尔丹诺、笛卡尔、牛顿、欧拉、达朗贝尔、贝祖、拉格朗日、高斯、鲁菲尼、阿贝尔、伽罗华等等)都参与了其中,并创造了与这个问题有关的大规模的复杂理论。甚至数学历史上(或者说是科学的历史上)最悲剧、最富有传奇色彩的人物就出现在这个过程中(阿贝尔和伽罗华:英年早逝,极具才华,命运多舛!能说什么好呢?)。因此非常有必要将这过程中一些数学家的重要工作呈现出来,事实上也只有如此,才能将人类在整个根式解问题的探索过程中所体现那些数学文化,那些数学思想展示出来;也才能解开初学者心中的诸多疑问:方程式的根式解是怎么和置换发生关系的?一些初看起来并非自然的概念诸群,正规子群等等是如何引入数学的?为什么根式解问题的彻底解决,是通过那种初看起来有些奇怪的方式——利用根的置换(群)理论——解决的?
      问题在于,上述内容的大部分正是现有的中文文献中所缺失的(当然,这也正是编辑本书的一个出发点):
      1.关于拉格朗日的工作:有几种民国时期的作品有这方面的叙述,例如,迪克森的《代数方程式论》(2011年哈尔滨工业大学出版社再度出版);余介石、陆子芬的《高等方程式论》;马瑞的《葛罗华氏代数方程式论》等等。
       但是这些作品都是用文言文写的,并且诸多专业名词也和现在的差别很大。读起来自然晦涩难懂!
       2.关于克罗内克的工作:笔者只在三个中文文献中看到①(德)海因里希.德里的《100个著名初等数学问题——历史和解》;②靳平的《数学的100个基本问题》;还有就是前不久出版的③冯承天的《从求解多项式方程到阿贝尔不可能性定理:细说五次方程无求根公式》。
       前两个文献关于这个的叙述有点相似,读起来感觉有些含糊不清!第三个文献则是整本书的目的就在于证明克罗内克的定理。
       克罗内克提供的定理的重要意义在于以较少的篇幅、并且是不是特别抽象的方式提供一个(根式解5次及以上)不可能性的证明,并且还给出了这种方程的具体例子。
       3.高斯关于分圆方程的工作:高斯的完整的工作过程在现有的中文文献中没怎么看到!基本的都只限于历史性质的介绍。很多文献以x17-1=0这个例子来表述高斯的工作,如果说用这个工作来介绍高斯解法的思想是可以的,但当作“素数次分圆方程式根式可解”的证明就有问题了:因为这个时候遇到的预解方程式刚好都是已经会解的2次方程式。如果将这种步骤用到x11-1=0这个方程式上就会遇到问题:因为会不可避免地遇到一个(暂时还是不知道可不可解的)5次预解方程式!也就是说,“素数次分圆方程式根式可解”并没有证明。
      4.有些内容从实用的角度看可能不是很重要,例如“有理函数与置换”,但是这些内容所呈现的数学之美是令人欣赏的!同时它所包含的数学思想确实是拉格朗日的一大贡献,很有教育意义。
      现在再来说说在编辑整理《代数方程式的根式解》这本书时的一些想法。
      1.本书自成体系,凡用到的重要的定理(数学名词),皆介绍并严格证明于书中(要说起来,只有代数学基本定理没有证明!)。这样,第三章的“域上的多项式”,第四章的“对称多项式”就是为书的后面各个证明所准备的。
      2.为了使得阅读起来更加直观,我们对诸如伽罗华群等概念给予了非常的重视!首先以足够明白的方式定义了这个概念(第八章§1),然后再以伽罗华的原始的思想给出伽罗华群的具体确定方式(第八章§2),最后还给出了操作性较强的伽罗华群的决定法(第八章§7)。以笔者自学的经验来看,这个概念对于是初学者是有些困难的,可是又不能“跨过去”,因为这是所有的基础。
      3.第八章主要讲解高斯关于分圆方程式的研究。在这一章,我们没有利用伽罗华理论而证明了分圆方程式借助根式的可解性(§3)。§4则呈现了分圆方程式的高斯的具体解法。笔者自认为§4中对高斯解法的那种叙述是比较成功的!
      4.因为篇幅的原因,我们舍弃了部分内容:例如与我们的主题相关的方程式解为二次根式的问题,这问题密切联系着一些几何作图问题。关于伽罗华型方程式的议论等等。再,如前所述,代数学基本定理这个根本性的定理也没有证明,因为很容易找到它的证明。对于方程式论的发展史也没有细讲!
      5.同样是篇幅的原因,我们将拉格朗日的关于一般方程式的根的置换理论和伽罗华的关于具体数字方程式的根的置换理论合并在一起叙述,因为它们的结论的陈述和证明是一样的。还要说明的是,关于一般方程式的群是对称群Sn,我们只采用了直观的说明,而没有严格取证明。
      6.最后一部分是关于方程式伽罗华理论的叙述。虽然书的前面部分可以说完全解决了方程式的根式解问题。但笔者认为,以抽象的、比较简洁方式再来叙述一下是比较合适的。
      7.这个书,较《从根式解到伽罗华理论》篇幅是大大增加了,这从书名可以看出。相应的部分也并不完全重合于书《从根式解到伽罗华理论》。例如,最后一章,我们改写了部分内容,使其更有方程式的背景。同时,增加了部分发展史的内容(有些是以脚注的形式)。
      8.本书的一些内容(第八章以及第九章的部分内容)编写是以迪克森的《代数方程式论》以及余介石、陆子芬的《高等方程式论》为蓝本的!
      客观地说,编辑整理这个小册子是有些困难的。书中关于方程式论的诸多定理文献难找,遇到问题也没人讨论或者请教,因为过于专门!(例如,关于阿贝尔型方程式基本上是零文献,前面提到的《代数方程式论》以及《高等方程式论》中只讲到狭义的阿贝尔型方程式)。实际上,很多时候,一个定理弄了很久,就是证明不了,真有点想放弃的念头!但一想,作为一个数学爱好者,有责任也有义务将一些迷失在数学“江湖”中的内容给呈现出来!因为那代表数学的文化。
     再,笔者没有这些内容的教学经验,一个内容,一个问题,一个定理,如何提出,如何呈现,只能凭自己的主观想法。所以,整个书籍的编辑,前前后后易稿十多次。
打开数学理论,是一个世界;闭上数学书籍,又是另一个现实的世界,平平淡淡,忙忙碌碌,为生活,为家人,工作着,奋斗着。。。。。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2017-2-27 09:41:58 | 显示全部楼层
刚接到出版社通知,《从根式解到伽罗华理论》马上出版
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2017-2-27 09:42:39 | 显示全部楼层
刚接到出版社通知,《代数方程的根式解》马上出版
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2018-6-13 20:37:23 | 显示全部楼层
Nano 发表于 2017-2-24 14:55
我是个准备自学伽罗华理论的人,在知乎搜索教材时看到了你的书,感觉我应该可以看,所以。。我可以向您买一 ...

书籍已经出版,从零开始讲的。https://url.cn/5KXF9pp
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 楼主| 发表于 2018-6-13 20:37:36 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2018-6-13 20:40:08 | 显示全部楼层
关于《代数方程式根式解》的一个文献出版,希望感兴趣的朋友关注下:https://url.cn/5KXF9pp
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