代数方程式的根式解问题

wangfeizaaq

          求教，如何利用下面的四个定理来证明定理1.
         
         伽罗华第一基本定理    设Ω是一个正规域而G是P上方程式 f（x）的群，于是对每一个中间域P′（P包含于P′包含于Ω）有一群G的子群
          G′与之对应，这子群也是方程式 f（x）的群，但已经是在域P′上的了，即G′是G中使P′的任何元素保持不变的置换的总体。在此域P′唯一的
          被子群G′所决定：P′是Ω的所有“容忍”G′中的置换的元素的总体，亦即在这些置换之下保持不变的总体。
          反过来，对于G的每一个子群G′都有一个域P′与之对应，它与G′有上述关系。

           伽罗华第二基本定理    设Ω是P的正规扩域，P′是中间域（PíP′íΩ），则P′是P的正规扩域当且仅当P′上域Ω的群G′是P上域Ω的群G的正规子群。
           
           伽罗华第三基本定理    设K是域P的正规扩域，则K对于域P的群G的阶数等于正规扩张的次数（K：P）。
            
           伽罗华大定理    设方程式 f（x）=0的系数都在域P内，G是方程式f（x）=0的伽罗华群，则f（x）=0可根式求解的充分必要条件是群G可解。


          定理1    若 p 是一个素数， f（х）=хp+a1хp-1 +…+ ap-1х+ap 是不可约多项式，α1，α2，…，αp是 f（х）=0 的根。f（х）=хp+a1хp-1 +…+ ap-1х+ap。
         （1）方程式  f（х）=0  有根式解的充分必要條件是 α1，α2，…，αp属于Q（a1 ，a2，…，ap，αi1，αi2）， 其中 i1，i2 是 {1，2，…，p} 任意相异的两个数。
         （2）若  f（х）=0  有根式解，则我们把α1，α2，…，αp适当排列之后，σ（αi）=αri+s，其中 σ 是 Galois 群的任意元素， r 与 s 是随σ 改变的整数， 1≤r≤p-1，
              1≤s≤p-1。 （如果 ri+s≥p，则 αri+s表示ασ，其中 q 是 ri+s 除以 p 的余数。）