正方体内的反射闭合光路

mathe

另外我们还可以得出如果不限定每个面都反射一次，而是要求一个周期内所有面反射次数相同，方向也是唯一的

zeroieme

接7楼

做了个2维的反射图

wayne

mathe 发表于 2016-10-15 11:17
出发点我们总可以假设左平面，那么第二个点可以分为两种
i)右平面， 于是第三个点上下前后任意一个都类似 ...

沿用mathe的方法，不妨做一下标记。立方体的左平面标记为1，上前下后依次标记为2，3，4，5，右平面标记为6.
那么我们可以枚举一下所有的情况。

回路起点从1号开始。2，3，4，5是环形对称的，6是独特的，所以我们根据6的位置进行分类。
1）6在第二个，第六个位置的，需要将2345拆分成0+4的形式，对称性在4个面中展开，路径有 162345 162435 162354，123456  123546 124356  六种
2）6在第三个，第五个位置的，需要将2345拆分成1+3的形式，对称性在3个面中展开，所以 有 126345 126435，134562 143562 四种
3）6在第四个位置的，需要将2345拆分成2+2的形式，考虑对面和邻面。所以有 123645 132645 124635 三种

所以，总共有 6+4+3 = 13 种非平凡情况。比mathe的要少，mathe 帮忙核实一下，

wayne

另外，根据计算得知，反射直线的切线向量 只是根据反射平面的特点取的相反值，其他分量不变。
建立坐标系，设前面是XOY第一象限。x向上取正，y向右取正，z向后取正。 则 正方体1号面的方程是 $x =0$ ,2号面的方程是 $z =1$ ,3号面的方程是 $z =0$ ,4号面的方程是 $y =0$ ,5号面的方程是 $y =1$ ,6号面的方程是 $x =1$
计算得出 入射直线的切向量是${n, p, k}$,经过点 ${x0, y0, z0}$,则入射直线与六个面相交后的反射直线的切向量和反射点坐标 如下图
（六个平面已经按照标号排序，第一个向量表示平面的法向量，第二个表示该平面上的一点）


可以看得出来，反射点的坐标是非常简洁的表达式，接下来，我们只需要随意选取楼上的一个路径进行迭代计算，然后带入边界条件计算即可。

wayne

枚举一下前面提及的13个非平凡路径，计算得知只有一个解,124635.

解的一般条件是 入射直线在起点1号平面的交点的坐标${x_0,y_0,z_0}$,切线向量是${n,p,k}$
则$ 0 < z_0 < 1, 1 - z_0 < y_0 < 1,  n:p:k = 1:-1:1$
光线路径分别经过的反射点是$ {0, y_0, z_0}, {1 - z_0, y_0 + z_0-1, 1}, {y_0, 0, 2 - y_0 - z_0}, {1, 1 - y_0, 1 - z_0}, {z_0, 2 - y_0 - z_0, 0}, {1 - y_0, 1,  y_0 + z_0-1}, {0, y_0, z_0}}$
计算得知，每一个顶点处的夹角余弦是$1/3$

由于枚举的是全集， 所以说 不存在对边不相等的回路了。

1. GetReflectedLine[{{lineVector_,linePoint_},{surfaceVector_,surfacePoint_}}]:=Module[{p0=linePoint(*入射直线的决定点*),v0=lineVector(*入射直线的决定向量，即切向量*),p1=surfacePoint(*反射面的决定点*),v1=surfaceVector(*反射面的决定向量，即法向量*),X,Y,Z,P(*辅助计算的变量*),tmp},P={X,Y,Z};tmp=Solve[Flatten[{Dot[P-p1,v1]==0,Map[#==0&,Cross[P-p0,v0],1]}],P][[1,All,2]];{Solve[{Dot[P,v1]+Dot[v0,v1]==0,Cross[v0,-v1]==Cross[v1,P]},P][[1,All,2]],tmp}];
   
2. paths={162345,162435,162354,123456,123546,124356,126345,126435,134562,143562,123645,132645,124635};
   
3. faces={{{1,0,0},{0,0,0}},{{0,0,1},{0,0,1}},{{0,0,1},{0,0,0}},{{0,1,0},{0,0,0}},{{0,1,0},{0,1,0}},{{1,0,0},{1,0,0}}};p0={x0,y0,z0};ans=Table[{j,paths[[j]],IncidentLine={{n,p,k},p0};data=Table[{i,IncidentLine=GetReflectedLine[{IncidentLine,faces[[i]]}]},{i,RotateLeft[IntegerDigits[paths[[j]]]]}];Reduce[Flatten[{Map[Less[0,#,1]&,Drop[Union[Flatten[data[[All,2,2]]]],2]],Thread[data[[-1,2,2]]==p0],Map[Less[0,#,1]&,Rest[p0]]}]/.List->And],data},{j,Length[paths]}];ans[[All,1;;3]]

复制代码

wayne

代码稍微修改了下。 暴力枚举了下 光线经过5，7个点回到原路的。均无解。

wayne

光线回路 8个点有很多暴力枚举出来有24个，这24个的切向量都是$1：1：2$的各种变种。有可能是一个解。
{12346235,12356234,12436253,12456345,12536243,12546354,13246325,13256324,13426352,13456245,13526342,13546254,14236523,14256435,14326532,14356425,14526453,14536452,15236423,15246534,15326432,15346524,15426543,15436542}
入射直线在起点1号平面的交点的坐标${x_0,y_0,z_0}$,切线向量是${n,p,k}$

比如 路径 123462351：条件是 $x0=0, 1/2 < y0 < 1 , 2 - 2 y0 <= z0 < 1,  n:p:k= 1:-1:2$
${{0,y0,z0},{(1-z0)/2,1/2 (-1+2 y0+z0),1},{(2-z0)/2,1/2 (-2+2 y0+z0),0},{y0,0,-2+2 y0+z0},{1,1-y0,z0},{(1+z0)/2,1/2 (3-2 y0-z0),1},{z0/2,1/2 (4-2 y0-z0),0},{1-y0,1,-2+2 y0+z0},{0,y0,z0}}$

mathe

更多次反射同样可以用类似魔方上的方法作更简单.
我们可以考虑展开直线光线和三个方向平面交点数目。比如我们原题中解决的是2:2:2问题
而对于8次相交一般情况，我们可以要求每个方向至少相交一次，不然就转化为退化的二维问题了。
由此，可以有
6:1:1
5:2:1
4:3:1
4:2:2
3:3:2
这五种
其中只有4:2:2这种每个方向都相交偶数次，所以对应其实面和目标面上点的位置是相同的。(wanye说的光线方向是(1,1,2)应该就是4:2:2模式）
而对于其它几种，目标面上的点的位置不同（某个方向是奇数次相交，那么点需要相对这个方向对称变换一次即可）

mathe

忘了考虑所有同方向面有两个，某个方向奇数次相当于落在对面，所以必须每个方向偶数次

wayne

那就可以确定8个点的只有1:1:2这种情况了。对于10个点才有两个解1:1:3，1:2:2