七次分圆方程的根式解

wangfeizaaq

即求`x^6+x^5+…+x+1=0`的根式解。要用根号表示。

kastin

方程 `(x-1)(x^6+x^5+\cdots+x+1)=x^7-1=0` 有7个根，除去1之外的6个根 $$x_k=\mathrm e^{\frac{2k\pi}{7}}=\cos\frac{2k\pi}{7}+i\sin\frac{2k\pi}{7}\;(k=1,2,\cdots,6)$$ 就是 `x^6+x^5+\cdots+x+1=0` 的全部根。
至于根式形式，就算表示出来，也非常复杂，完全没有必要。

wangfeizaaq

kastin 发表于 2016-11-9 19:20
方程 `(x-1)(x^6+x^5+\cdots+x+1)=x^7-1=0` 有7个根，除去1之外的6个根 $$x_k=\mathrm e^{\frac{2k\pi}{7}} ...

谢谢，我想要的是是根式解，而不是超越（三角形式）解

chyanog

\[-\frac{1}{6} \sqrt[3]{-\frac{i \sqrt{7}}{2}-\frac{3 \sqrt{21}}{2}+7}-\frac{i \sqrt[3]{-\frac{i \sqrt{7}}{2}-\frac{3 \sqrt{21}}{2}+7}}{2 \sqrt{3}}+\frac{i \sqrt{7}}{6}-\frac{1}{6}-\frac{i \sqrt{7}}{6 \sqrt[3]{-\frac{i \sqrt{7}}{2}-\frac{3 \sqrt{21}}{2}+7}}-\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{3} \sqrt[3]{-\frac{i \sqrt{7}}{2}-\frac{3 \sqrt{21}}{2}+7}}\]
\[-\frac{1}{6} \sqrt[3]{-\frac{i \sqrt{7}}{2}-\frac{3 \sqrt{21}}{2}+7}+\frac{i \sqrt[3]{-\frac{i \sqrt{7}}{2}-\frac{3 \sqrt{21}}{2}+7}}{2 \sqrt{3}}+\frac{i \sqrt{7}}{6}+\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{3} \sqrt[3]{-\frac{i \sqrt{7}}{2}-\frac{3 \sqrt{21}}{2}+7}}-\frac{1}{6}-\frac{i \sqrt{7}}{6 \sqrt[3]{-\frac{i \sqrt{7}}{2}-\frac{3 \sqrt{21}}{2}+7}}\]
\[-\frac{1}{6} \sqrt[3]{\frac{i \sqrt{7}}{2}+\frac{3 \sqrt{21}}{2}+7}-\frac{i \sqrt[3]{\frac{i \sqrt{7}}{2}+\frac{3 \sqrt{21}}{2}+7}}{2 \sqrt{3}}+\frac{i \sqrt{7}}{6 \sqrt[3]{\frac{i \sqrt{7}}{2}+\frac{3 \sqrt{21}}{2}+7}}+\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{3} \sqrt[3]{\frac{i \sqrt{7}}{2}+\frac{3 \sqrt{21}}{2}+7}}-\frac{i \sqrt{7}}{6}-\frac{1}{6}\]
\[\frac{1}{3} \sqrt[3]{-\frac{i \sqrt{7}}{2}-\frac{3 \sqrt{21}}{2}+7}+\frac{i \sqrt{7}}{6}+\frac{i \sqrt{7}}{3 \sqrt[3]{-\frac{i \sqrt{7}}{2}-\frac{3 \sqrt{21}}{2}+7}}-\frac{1}{6}\]
\[\frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{i \sqrt{7}}{2}+\frac{3 \sqrt{21}}{2}+7}-\frac{i \sqrt{7}}{6}-\frac{1}{6}-\frac{i \sqrt{7}}{3 \sqrt[3]{\frac{i \sqrt{7}}{2}+\frac{3 \sqrt{21}}{2}+7}}\]
\[-\frac{1}{6} \sqrt[3]{\frac{i \sqrt{7}}{2}+\frac{3 \sqrt{21}}{2}+7}+\frac{i \sqrt[3]{\frac{i \sqrt{7}}{2}+\frac{3 \sqrt{21}}{2}+7}}{2 \sqrt{3}}+\frac{i \sqrt{7}}{6 \sqrt[3]{\frac{i \sqrt{7}}{2}+\frac{3 \sqrt{21}}{2}+7}}-\frac{i \sqrt{7}}{6}-\frac{1}{6}-\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{3} \sqrt[3]{\frac{i \sqrt{7}}{2}+\frac{3 \sqrt{21}}{2}+7}}\]

kastin

kastin 发表于 2016-11-9 19:20
方程 `(x-1)(x^6+x^5+\cdots+x+1)=x^7-1=0` 有7个根，除去1之外的6个根 $$x_k=\mathrm e^{\frac{2k\pi}{7}} ...

用根号表示最简单就是 `(\sqrt[7]{-1})^{2k},(k=1,2,\cdots,6)`，即$$(-1)^{2/7},(-1)^{4/7},(-1)^{6/7},-\sqrt[7]{-1},-(-1)^{3/7},-(-1)^{5/7}$$如果你不认为这是根号表达，那么就请把你的问题表述清楚无误——所谓的“根号表示”的精确定义给出来。

表述不清就会出现很多问题，比如 `\sqrt{i}=\sqrt[4]{-1}` 算不算根号表达？

——如果不算，那么形如 `p+\sqrt[n]{Q[\sqrt[m]{i}]}`也就就不算根号表达了吧？其中 `Q[x]` 表示对整数集以及 `x` 进行有限次加、减、乘、除、开方运算所得的表达式。

——如果算的话，那么`\sqrt[3]{1}=(\sqrt[3]{-1})^2=(-1)^{2/3}` 也应该算是根号表达。

于是问题在于，什么才是根号表达，更精确地说，什么才算最简根号表达，这才是楼主需要先表达清楚的。
如果允许根号里面有单位虚数的话，并且无法将根号里面的虚数消掉，那么这种“根号表达”又有什么意义呢？难道这样无法开尽的，含有虚数单位，非常长的，且嵌套的复杂根号表达形式就一定就比简洁的超越形式更优秀？理由在哪里？还不如直接用开方或者用三角函数来表示，简洁优美容易记。
比如第一个根 $$\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}=\frac{1}{6} \left(\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)}+\frac{7^{2/3}}{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)}}-1\right)+i \sqrt{-\frac{1}{24} \sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}-\frac{i \sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}}{8 \sqrt{3}}+\frac{7^{2/3} i}{4\ 2^{2/3} \sqrt{3} \sqrt[3]{-1+3 i \sqrt{3}}}+\frac{7}{12}-\frac{7^{2/3}}{12\ 2^{2/3} \sqrt[3]{-1+3 i \sqrt{3}}}}$$显然非常复杂，其他5个根也是一样复杂。

wangfeizaaq

非常感谢各位的帮助，我想要的就是根式解。我的根式解的意思是：利用方程式的系数经过有限次加、减、乘、除、开方五种运算把根表示出来。

wangfeizaaq

嗯，是的，这就是我所需要的答案。从实用上看，这些根式解的确没有什么价值，但在理论上，例如代数方程式的根式解问题，就不一样了！

wangfeizaaq

还有一个疑问，不知各位大师，使用什么方法得到这些根式解的？不可能是手算啊、

kastin

wangfeizaaq 发表于 2016-11-10 19:34
还有一个疑问，不知各位大师，使用什么方法得到这些根式解的？不可能是手算啊、

记 `\D y=\sin \frac{2\pi}{7}`，根据7倍角公式得那么 `\D\sin(7\*\frac{2\pi}{7})=-y(64y^6-112y^4+56y^2-7)=0`，因为 `y \neq 0`，故有$$64y^6-112y^4+56y^2-7=0\tag{1}$$这是关于 `y^2` 的三次方程，根据求根公式可求出三个根。
根据单调性知 `\D\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin\frac{\pi}{4}< y <\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}`，所以 `\D\frac{1}{2} < y^2 < \frac{3}{4}`，找出符合条件的根为$$y^2=-\frac{1}{24} \sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}-\frac{i \sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}}{8 \sqrt{3}}+\frac{7^{2/3} i}{4\ 2^{2/3} \sqrt{3} \sqrt[3]{-1+3 i \sqrt{3}}}+\frac{7}{12}-\frac{7^{2/3}}{12\ 2^{2/3} \sqrt[3]{-1+3 i \sqrt{3}}}$$然后开平方，取正根得$$y=\sin\frac{2\pi}{7}=\sqrt{-\frac{1}{24} \sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}-\frac{i \sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}}{8 \sqrt{3}}+\frac{7^{2/3} i}{4\ 2^{2/3} \sqrt{3} \sqrt[3]{-1+3 i \sqrt{3}}}+\frac{7}{12}-\frac{7^{2/3}}{12\ 2^{2/3} \sqrt[3]{-1+3 i \sqrt{3}}}}$$上面数字之间的空格表示相乘。
于是一楼方程中的第一个根就是是 `x=\sqrt{1-y^2}+iy`，剩下的根是 `x` 的整数次幂。

kastin

别看 `y^2` 的结果在形式上是复数，实际上它是一个实数，只是没有进一步化简而已（如果要化简，就不得不用到棣莫弗公式，因此还是回到了三角函数表达形式，最后还是还原成单位根形式）。
关于这一点可以提一下相关数学史，早在以前人们认为负数是不可开平方的，虚数的引入是由于在人们得到三次方程求根公式后，求具有三个实数解的三次方程的过程中，无法避免遇到负数开平方的问题，并不是大家想象的那样，人们为了给无实数解的二次方程增加一个没有实际意义的解而增加一个虚数。如果不承认虚数的存在，就意味着不承认三次方程具有三个实数解的事实，这让人们更不能接受，故虚数就这么被承认了。至于后来高斯将虚数引入到数论，欧拉公式的发现，棣莫弗公式的发现等等，都是后话了。