平分圆周长的圆

manthanein

坐标平面上有若干个圆：
第一个圆的圆心为\((a_1,b_1)\)，半径为\(r_1\)
第二个圆的圆心为\((a_2,b_2)\)，半径为\(r_2\)
…………
第\(n\)个圆的圆心为\((a_n,b_n)\)，半径为\(r_n\)

我们要找出一个圆，使得这个圆平分给定的圆中任意一个圆的周长。
问题：
（1）这个圆的方程。
（2）在什么情况下这个圆存在。

kastin

要满足两个条件：
1. 这些圆两两连心线的中垂线必须交于一点（记为O点）；
2. O点到所有圆的圆心距离中最大的那个，必须小于O点到其他圆最远距离（O到圆心距离加上相应半径）。

hujunhua

楼上给出的条件不正确。
且将 n（>2 ) 个圆（称为珠）被另外一个圆（称为线环）同时平分周长的图称为一个手串。

显然，若其中有两珠同心，则所有的珠必须串在一条直线上。以后的讨论自动排除这种情况。

一般位置的3 珠总可决定一个环，所以解线环方程的问题应该限于n=3.
既然3珠唯一成串，那么 4 珠必须有所约束才能成串。
对于更多的 n 珠，则需要(n-3)个 4 珠存环条件，所以这个问题可以限于n=4.

hujunhua

将两圆的根轴关于两圆连心线之中垂线的镜像简称为根轴镜像。

一般位置的三圆，两两根轴共点，两两根轴镜像亦共点。根轴镜像所共之点正是线环中心。

所以四珠存环的条件就是两两根轴镜像（计6线）共点。n 珠存环的条件也是两两根轴镜像（计`C^2_n`线）共点.

hujunhua

。
只需要证明线环中心在任意两圆的根轴镜像上就行了。
如上图，圆O穿过圆C₁的直径d₁的两端1、2，和圆C₂的直径d₂的两端3、4.
既然1，2，3，4共圆，所以直线1-2与直线3-4的交点A就在圆C₁-圆C₂的根轴上。
因连心线OC₁⊥公共弦12, 连心线OC₂⊥公共弦34， 所以C₁，C₂，A，O四点共圆B，OA为直径。
B在连心线C₁C₂的中垂线上，所以O就在圆C₁-圆C₂的根轴镜像上。