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[讨论] 平分圆周长的圆

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发表于 2016-11-21 21:09:11 | 显示全部楼层 |阅读模式

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坐标平面上有若干个圆:
第一个圆的圆心为\((a_1,b_1)\),半径为\(r_1\)
第二个圆的圆心为\((a_2,b_2)\),半径为\(r_2\)
…………
第\(n\)个圆的圆心为\((a_n,b_n)\),半径为\(r_n\)

我们要找出一个圆,使得这个圆平分给定的圆中任意一个圆的周长。
问题:
(1)这个圆的方程。
(2)在什么情况下这个圆存在。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2016-11-22 13:37:41 | 显示全部楼层
要满足两个条件:
1. 这些圆两两连心线的中垂线必须交于一点(记为O点);
2. O点到所有圆的圆心距离中最大的那个,必须小于O点到其他圆最远距离(O到圆心距离加上相应半径)。
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发表于 2016-11-22 21:41:00 | 显示全部楼层
楼上给出的条件不正确。
且将 n(>2 ) 个圆(称为珠)被另外一个圆(称为线环)同时平分周长的图称为一个手串。

显然,若其中有两珠同心,则所有的珠必须串在一条直线上。以后的讨论自动排除这种情况。

一般位置的3 珠总可决定一个环,所以解线环方程的问题应该限于n=3.
既然3珠唯一成串,那么 4 珠必须有所约束才能成串。
对于更多的 n 珠,则需要(n-3)个 4 珠存环条件,所以这个问题可以限于n=4.
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发表于 2016-11-23 10:40:55 | 显示全部楼层
将两圆的根轴关于两圆连心线之中垂线的镜像简称为根轴镜像。

一般位置的三圆,两两根轴共点,两两根轴镜像亦共点。根轴镜像所共之点正是线环中心。

所以四珠存环的条件就是两两根轴镜像(计6线)共点。n 珠存环的条件也是两两根轴镜像(计`C^2_n`线)共点.
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发表于 2016-11-23 15:39:50 | 显示全部楼层

补一个证明图

两圆共圆.png
只需要证明线环中心在任意两圆的根轴镜像上就行了。
如上图,圆O穿过圆C1的直径d1的两端1、2,和圆C2的直径d2的两端3、4.
既然1,2,3,4共圆,所以直线1-2与直线3-4的交点A就在圆C1-圆C2的根轴上。
因连心线OC1⊥公共弦12, 连心线OC2⊥公共弦34, 所以C1,C2,A,O四点共圆B,OA为直径。
B在连心线C1C2的中垂线上,所以O就在圆C1-圆C2的根轴镜像上。
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