用几何方法研究圆锥曲线（欢迎补充）

manthanein

这里将采用近乎纯几何而非解析几何的方法研究圆锥曲线的性质，欢迎大家补充优美的证明。
主要参考资料：《圆锥曲线的几何性质》

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我们先从抛物线研究起。

定义：在一个平面上，给定一个定点和一条定直线，到这个定点的距离和到这个定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
这个定点叫做抛物线的焦点。
这条定直线叫做抛物线的准线。
抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
抛物线的轴和抛物线的公共点叫做抛物线的顶点。

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已知：如图，直线\(l\)是图中抛物线的准线，点\(F\)是图中抛物线的焦点，过点\(F\)作直线\(l\)的垂线，交直线\(l\)于点\(A\)。线段\(AF\)的中点为点\(O\)。
求证：点\(O\)在给定的抛物线上。

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证明：
\(\because\) 线段\(AF\)的中点为点\(O\)
\(\therefore AO=OF\)
\(\because\ AF \perp l\)
\(\therefore\) 点\(O\)到直线\(l\)的距离等于\(AO\)
\(\therefore\) 点\(O\)到直线\(l\)的距离等于点\(O\)到点\(F\)的距离
\(\therefore\) 点\(O\)在给定的抛物线上

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已知：如图，直线\(l\)是图中抛物线的准线，点\(F\)是图中抛物线的焦点，过点\(F\)作直线\(l\)的垂线，交直线\(l\)于点\(A\)。线段\(AF\)的中点为点\(O\)。在抛物线上任取一点\(P\)，过点\(P\)作直线\(AF\)的垂线，垂足为点\(N\)。
求证：\(PN^{2}=4OF \cdot ON\)

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aimisiyou

manthanein 发表于 2016-11-25 23:28
已知：如图，直线\(l\)是图中抛物线的准线，点\(F\)是图中抛物线的焦点，过点\(F\)作直线\(l\)的垂线，交直 ...

因为FP=AN，所以PN^2=FP^2-FN^2=AN^2-FN^2=(AN+FN)(AN-FN)=2*ON*2*OF=4*OF*ON