n次整系数多项式取值为整数n次方

manthanein

假设有一个n次(n>1)的整系数多项式f(x)。x取任意一个整数时，f(x)一定是某个整数的n次方。
问：是否一定有f(x)=(ax+b)^n （a、b为常数）

mathe

参考 http://bbs.emath.ac.cn/thread-3107-1-1.html
链接讨论的仅平方的情况，但是方法可以推广到任意正整数次方

lsr314

不一定是一次的，比如(x^2+1)^2

hejoseph

若不限次数，令
\[
g(x) = a_0 + \sum_{i=1}^n{\frac{a_i}{i!}x\left(x - 1\right)\cdots\left(x - i + 1\right)}
\]
则
\[
f(x)=g(x)^n
\]
其中 $a_i$ 都是整数。