均匀多面体的体积有没有简单方法可求

hejoseph

均匀多面体就是指面都是正多边形或正多角星，各顶点所形成的多面角都全等的多面体（能用已知均匀多面体复合构成的那些不算），若已知棱长为1，如何求得多面体的体积？对于非凸多面体的体积这里的体积指多面体的面所包围的所有空间部分的大小。有没有比较简单的方法求体积，特别是那些非凸的多面体。
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_uniform_polyhedra
这里有整套均匀多面体的列表。

hejoseph

计算多面体的体积可选定一个参考点，每个面在多面体表面的部分的边界与参考点连结成棱锥，若棱锥在多面体内部则加上棱锥的体积，若棱锥在多面体外部，则减去棱锥的体积。均匀多面体的参考点我们选择均匀多面体的中心，这样有利于体积的计算。
非凸均匀多面体体积计算的难点是确定表面部分的面积，很多表面都分割得非常复杂。现在已经计算完整套体积了，但是这里不可能一一列举计算结果了，太多种多面体了。在计算过程中还通过表面分割图得到了纸模型的制作图。

hejoseph

例如上图这个多面体，设其棱长为1，则体积是方程
\begin{align*}
&200182566675993179521300855198757841907919047982875207808x^6\\
&{}+\left(8054989221154773468114005455398115286422642451826158429141434008400\sqrt{5}\right.\\
&{}\left.{}\vphantom{\sqrt{5}}-18011515818258093530221766013053066687742800387597753828844897598000\right)x^4\\
&{}+\left(17633734863657510298809288222846810555538456648951283694569188933575000\sqrt{5}\right.\\
&{}\left.{}\vphantom{\sqrt{5}}-39430126360839303125074757544312140683576194260153628810289744151890000\right)x^2\\
&{}+34941205960398776841245106974059374969581999048703609273317964264197671875\sqrt{5}\\
&{}-78130911749110418598938315353337667282475167004630437919072300650050984375=0
\end{align*}
的根，约为
\[0.23750814416803018764\]

hujunhua

凹的也算？那些凹进去的顶点不符合定义呀！

hejoseph

这一系列的多面体都没有凹进去的顶点啊，你所说凹进去的顶点是指哪些？
需要说明下：多角星边自交形成的那些点不算是多面体的顶点，若干面内部形成的公共点也不算是多面体的顶点。

happysxyf

用极坐标能行吗？
全角度积分，我不知道你的图形是否有不对称的地方。

hejoseph

恐怕不是这么简单，多面体的体积不像有简单函数表示的曲面那样简单可求的

happysxyf

hejoseph 发表于 2017-1-3 09:34
恐怕不是这么简单，多面体的体积不像有简单函数表示的曲面那样简单可求的

那个方程你是怎么搞出来的。用什么方法得到的方程。

hejoseph

happysxyf 发表于 2017-1-3 10:35
那个方程你是怎么搞出来的。用什么方法得到的方程。

首先要计算中心到各种面的距离，然后计算每个面在多面体表面的面积，最后用2#的方法计算体积，就是这样，计算表面积是最麻烦的，每个分割点都要仔细计算清楚。

与上面发的那个多面体，表面分割情况如下：

与正五角星面相邻的正三角形面


与正五角星面不相邻的正三角形面


正五角星面

hejoseph

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