角度是有理数的余弦函数为不可约整系数三次方程的根

hejoseph

设 $a$ 是有理数，$0\leq a\leq 90$。
若 $\cos a^\circ$ 也是有理数，则 $a=0$ 或 $a=60$ 或 $a=90$。
若 $\cos a^\circ$ 是一个不可约整系数二次方程的根，则 $a=30$ 或 $a=36$ 或 $a=45$ 或 $a=72$。
若 $\cos a^\circ$ 是一个不可约整系数三次方程的根，则 $a$ 可能是哪些值呢？

hejoseph

设 \(a\) 是有理数，\(0\leqslant a\leqslant 90\)，若 \(\cos a^\circ\) 是一个不可约整系数三次方程的根，则 \(a\) 可能是哪些值呢？
得到的结论是：\(a\) 是 \(180/7\)、\(360/7\)、\(540/7\)、\(20\)、\(40\)、\(80\)。

wayne

http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAngles.html

分母是2的幂与若干费马素数的乘积的时候 三角函数才是代数数【准确的说是根式解，可以尺规作出来的角度】。

wayne

于是只有两种情况：

\[ 8 \sin ^3\left(\frac{\pi }{14}\right)-4 \sin ^2\left(\frac{\pi }{14}\right)-4 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right) +1 = 0\]
\[8 \sin ^3\left(\frac{\pi }{18}\right)-6 \sin \left(\frac{\pi }{18}\right) +1 = 0\]

hejoseph

wayne 发表于 2018-12-20 16:47
http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAngles.html

分母是2的幂与若干费马素数的乘积的时候 三角函 ...

谢谢，那链接里的资料在什么地方或者书籍能找到证明？