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[讨论] 角度是有理数的余弦函数为不可约整系数三次方程的根

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发表于 2016-12-20 16:32:55 | 显示全部楼层 |阅读模式

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设 $a$ 是有理数,$0\leq a\leq 90$。
若 $\cos a^\circ$ 也是有理数,则 $a=0$ 或 $a=60$ 或 $a=90$。
若 $\cos a^\circ$ 是一个不可约整系数二次方程的根,则 $a=30$ 或 $a=36$ 或 $a=45$ 或 $a=72$。
若 $\cos a^\circ$ 是一个不可约整系数三次方程的根,则 $a$ 可能是哪些值呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-12-20 15:51:10 | 显示全部楼层
本帖最后由 hejoseph 于 2018-12-20 15:52 编辑

设 \(a\) 是有理数,\(0\leqslant a\leqslant 90\),若 \(\cos a^\circ\) 是一个不可约整系数三次方程的根,则 \(a\) 可能是哪些值呢?
得到的结论是:\(a\) 是 \(180/7\)、\(360/7\)、\(540/7\)、\(20\)、\(40\)、\(80\)。

点评

没有其他的了  发表于 2018-12-20 20:38
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-12-20 16:47:17 | 显示全部楼层
http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAngles.html

分母是2的幂与若干费马素数的乘积的时候 三角函数才是代数数【准确的说是根式解,可以尺规作出来的角度】。

点评

已经改过来了  发表于 2018-12-21 09:50
对对对,我想表达的其实就是根式数  发表于 2018-12-20 20:48
根式数是代数数的子集  发表于 2018-12-20 20:46
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发表于 2018-12-20 20:31:35 | 显示全部楼层
于是只有两种情况:

\[ 8 \sin ^3\left(\frac{\pi }{14}\right)-4 \sin ^2\left(\frac{\pi }{14}\right)-4 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right) +1 = 0\]
\[8 \sin ^3\left(\frac{\pi }{18}\right)-6 \sin \left(\frac{\pi }{18}\right) +1 = 0\]
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 楼主| 发表于 2018-12-21 09:26:10 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2018-12-20 16:47
http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAngles.html

分母是2的幂与若干费马素数的乘积的时候 三角函 ...

谢谢,那链接里的资料在什么地方或者书籍能找到证明?
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